किसी राज्य में तीन शहरों P, Q और R के संबंध में नीचे दिए गए प्रश्न कथनों पर विचार करें: \ प्रश्न: शहर P, शहर Q से कितनी दूर है? कथन- 1: शहर Q, शहर R से 18 किमी दूर है। कथन- 2: शहर P, शहर R से 43 किमी दूर है। प्रश्न और कथनों के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

प्रश्न शहर P और शहर Q के बीच की दूरी पूछता है।

कथन 1: शहर Q, शहर R से 18 किमी दूर है। यह कथन हमें दूरी QR = 18 किमी बताता है। यह शहर P के बारे में कोई जानकारी नहीं देता है। इसलिए, कथन 1 अकेले दूरी PQ निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं है।

कथन 2: शहर P, शहर R से 43 किमी दूर है। यह कथन हमें दूरी PR = 43 किमी बताता है। यह शहर Q की स्थिति के संबंध में P या R की स्थिति के संबंध में Q के बारे में कोई जानकारी नहीं देता है। इसलिए, कथन 2 अकेले दूरी PQ निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं है।

दोनों कथन 1 और कथन 2 को मिलाकर: हम जानते हैं कि QR = 18 किमी और PR = 43 किमी। हमें PQ ज्ञात करना है। तीन शहरों P, Q और R के लिए कई संभावित व्यवस्थाएँ हो सकती हैं:

1. यदि Q, P और R के बीच स्थित है (P-Q-R): तब PQ + QR = PR। इसलिए, PQ + 18 = 43, जिसका अर्थ है PQ = 43 - 18 = 25 किमी।
2. यदि R, P और Q के बीच स्थित है (P-R-Q): तब PR + RQ = PQ। इसलिए, 43 + 18 = PQ, जिसका अर्थ है PQ = 61 किमी।
3. यदि तीन शहर एक त्रिभुज बनाते हैं (संरेखीय नहीं): इस मामले में, दूरी PQ अन्य दो भुजाओं 18 किमी और 43 किमी वाली त्रिभुज की एक भुजा होगी। त्रिभुज असमानता प्रमेय के अनुसार, तीसरी भुजा (PQ) अन्य दो भुजाओं के निरपेक्ष अंतर से अधिक और उनके योग से कम होनी चाहिए। इसलिए, |43 - 18| < PQ < (43 + 18), जिसका अर्थ है 25 किमी < PQ < 61 किमी।

चूंकि हमें PQ के लिए विभिन्न संभावित दूरियाँ (25 किमी, 61 किमी, या यदि वे एक त्रिभुज बनाते हैं तो 25 किमी और 61 किमी के बीच कोई भी मान) मिल सकती हैं, इसलिए दोनों कथनों द्वारा एक साथ प्रदान की गई जानकारी शहर P और शहर Q के बीच एक अद्वितीय दूरी निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं है।

इसलिए, कथन-1 और कथन-2 दोनों प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त नहीं हैं।

अंतिम उत्तर D है