यदि यह ज्ञात हो कि यादृच्छिक रूप से चयनित एक स्कूटर मानक गुणवत्तापूर्ण है, तो इसकी सम्भाविता कितनी है कि स्कूटर संयंत्र 'ब' से आता है ?

बेयस प्रमेय का अनुप्रयोग

बेयस प्रमेय को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दर्शाया जाता है:

P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B)

जहां:

• P(A|B): घटना B के घटित होने पर घटना A की संभावना (पश्चात संभावना - posterior probability)
• P(B|A): घटना A के घटित होने पर घटना B की संभावना (संभाव्यता फलन - likelihood)
• P(A): घटना A की पूर्व संभावना (prior probability)
• P(B): घटना B की संभावना (साक्ष्य - evidence)

प्रश्न के अनुसार परिभाषाएँ

मान लीजिए:

• A: स्कूटर संयंत्र 'ब' से आता है।
• B: स्कूटर मानक गुणवत्ता का है।

ज्ञात जानकारी (मान लें)

प्रश्न में कुछ जानकारी दी जानी चाहिए थी, जैसे कि प्रत्येक संयंत्र से उत्पादन की संभावना और प्रत्येक संयंत्र से मानक गुणवत्ता वाले स्कूटरों की संभावना। हम निम्नलिखित मान लेते हैं (उदाहरण के लिए):

• P(A) = 0.4 (संयंत्र 'ब' से स्कूटर आने की संभावना 40% है)
• P(¬A) = 0.6 (संयंत्र 'अ' से स्कूटर आने की संभावना 60% है)
• P(B|A) = 0.8 (संयंत्र 'ब' से आने वाले स्कूटर के मानक गुणवत्ता का होने की संभावना 80% है)
• P(B|¬A) = 0.7 (संयंत्र 'अ' से आने वाले स्कूटर के मानक गुणवत्ता का होने की संभावना 70% है)

P(B) की गणना

P(B) की गणना कुल संभावना के नियम का उपयोग करके की जा सकती है:

P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|¬A) * P(¬A)

P(B) = (0.8 * 0.4) + (0.7 * 0.6) = 0.32 + 0.42 = 0.74

P(A|B) की गणना

अब, हम बेयस प्रमेय का उपयोग करके P(A|B) की गणना कर सकते हैं:

P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B)

P(A|B) = (0.8 * 0.4) / 0.74 = 0.32 / 0.74 ≈ 0.4324

निष्कर्ष

इसलिए, यदि यह ज्ञात हो कि यादृच्छिक रूप से चयनित एक स्कूटर मानक गुणवत्तापूर्ण है, तो इसकी संभावना लगभग 43.24% है कि स्कूटर संयंत्र 'ब' से आता है।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह परिणाम उन मान्यताओं पर निर्भर करता है जो हमने P(A), P(B|A), और P(B|¬A) के लिए बनाई हैं। यदि ये मान भिन्न होते हैं, तो P(A|B) का मान भी भिन्न होगा।