Model Answer
0 min readIntroduction
सांख्यिकी में, नमूनाकरण (sampling) एक महत्वपूर्ण प्रक्रिया है जिसका उपयोग किसी बड़ी जनसंख्या के बारे में निष्कर्ष निकालने के लिए किया जाता है। यह जनसंख्या के एक छोटे से उपसमुच्चय (sample) का चयन करके किया जाता है जो जनसंख्या का प्रतिनिधित्व करता है। विभिन्न प्रकार की नमूनाकरण विधियाँ उपलब्ध हैं, जिनमें यादृच्छिक नमूनाकरण (random sampling) एक महत्वपूर्ण विधि है। यादृच्छिक नमूनाकरण में, जनसंख्या के प्रत्येक सदस्य को नमूने में चुने जाने का समान अवसर होता है। इस प्रश्न में, हमें बिना प्रतिस्थापन के 8 का एक यादृच्छिक नमूना चुनना है और फिर माध्य स्कोर और मानक त्रुटि का अनुमान लगाना है। यह एक प्रतियोगी परीक्षा के अंकों के विश्लेषण के लिए एक सामान्य सांख्यिकीय प्रक्रिया है।
कार्यविधि का वर्णन
यहाँ दी गई कार्यविधि का वर्णन किया गया है:
- डेटा की जांच: सबसे पहले, दिए गए डेटा को ध्यान से जांचें और सुनिश्चित करें कि यह सही और पूर्ण है।
- नमूनाकरण विधि का चयन: बिना प्रतिस्थापन के यादृच्छिक नमूनाकरण के लिए, हम सरल यादृच्छिक नमूनाकरण (Simple Random Sampling) विधि का उपयोग करेंगे।
- नमूना चयन: जनसंख्या से 8 अंकों का एक यादृच्छिक नमूना चुनें। यह कंप्यूटर सॉफ़्टवेयर या यादृच्छिक संख्या तालिका का उपयोग करके किया जा सकता है।
- माध्य स्कोर की गणना: चयनित नमूने के अंकों का माध्य (average) ज्ञात करें।
- मानक त्रुटि की गणना: माध्य स्कोर की मानक त्रुटि (standard error) की गणना करें। मानक त्रुटि, नमूना माध्य और जनसंख्या माध्य के बीच अंतर की माप है।
8 के आकार का यादृच्छिक नमूना चयन
चूंकि वास्तविक डेटा प्रदान नहीं किया गया है, इसलिए हम मान लेते हैं कि डेटा में 100 अंकों का एक सेट है। हम सरल यादृच्छिक नमूनाकरण का उपयोग करके 8 अंकों का एक नमूना चुनेंगे।
मान लीजिए कि 100 अंकों का डेटा सेट है: [1, 2, 3, ..., 100]।
यादृच्छिक रूप से 8 अंक चुनें (बिना प्रतिस्थापन के): [15, 28, 42, 55, 63, 71, 88, 95]। यह केवल एक उदाहरण है, वास्तविक नमूना यादृच्छिक रूप से चुना जाएगा।
माध्य स्कोर और मानक त्रुटि का अनुमान
चयनित नमूने के आधार पर, हम माध्य स्कोर और मानक त्रुटि का अनुमान लगा सकते हैं।
माध्य स्कोर की गणना
माध्य स्कोर = (15 + 28 + 42 + 55 + 63 + 71 + 88 + 95) / 8 = 457 / 8 = 57.125
मानक त्रुटि की गणना
मानक त्रुटि की गणना के लिए, हमें नमूने के मानक विचलन (standard deviation) की आवश्यकता होगी।
मानक विचलन (s) = √[Σ(xi - x̄)² / (n-1)]
जहाँ xi प्रत्येक अंक है, x̄ माध्य स्कोर है, और n नमूने का आकार है।
मानक विचलन की गणना करने के बाद, मानक त्रुटि (SE) की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
SE = s / √n
मान लीजिए कि नमूने का मानक विचलन 20 है।
SE = 20 / √8 = 20 / 2.828 = 7.07
इसलिए, माध्य स्कोर का अनुमान 57.125 है और इसकी मानक त्रुटि 7.07 है।
| आंकड़ा | मान |
|---|---|
| नमूना आकार (n) | 8 |
| माध्य स्कोर (x̄) | 57.125 |
| मानक विचलन (s) | 20 (अनुमानित) |
| मानक त्रुटि (SE) | 7.07 |
Conclusion
इस विश्लेषण में, हमने सरल यादृच्छिक नमूनाकरण विधि का उपयोग करके 8 अंकों का एक नमूना चुना और माध्य स्कोर और मानक त्रुटि का अनुमान लगाया। यह प्रक्रिया हमें जनसंख्या के बारे में जानकारी प्राप्त करने में मदद करती है। मानक त्रुटि हमें नमूना माध्य की सटीकता का अनुमान लगाने में मदद करती है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि नमूनाकरण त्रुटि (sampling error) हमेशा मौजूद रहेगी, लेकिन उचित नमूनाकरण विधियों का उपयोग करके इसे कम किया जा सकता है।
Answer Length
This is a comprehensive model answer for learning purposes and may exceed the word limit. In the exam, always adhere to the prescribed word count.