टेकलाइन पीवीटी लिमिटेड उत्पादन मिश्रण अनुकूलन

रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या (LPP) का निरूपण

Techline Pvt. Ltd. के लिए, हमें एक रैखिक प्रोग्रामिंग मॉडल बनाना होगा जो लाभ को अधिकतम करता है, जबकि कच्चे माल और श्रम घंटों की बाधाओं का सम्मान करता है।

1. निर्णय चर (Decision Variables):

• मान लीजिए $x_1$ = उत्पाद X की साप्ताहिक उत्पादित इकाइयाँ
• मान लीजिए $x_2$ = उत्पाद Y की साप्ताहिक उत्पादित इकाइयाँ
• मान लीजिए $x_3$ = उत्पाद Z की साप्ताहिक उत्पादित इकाइयाँ

2. उद्देश्य फलन (Objective Function - अधिकतम लाभ):

कंपनी का लक्ष्य कुल लाभ को अधिकतम करना है। प्रत्येक उत्पाद से प्रति यूनिट लाभ योगदान दिया गया है:

• उत्पाद X: ₹80 प्रति यूनिट
• उत्पाद Y: ₹60 प्रति यूनिट
• उत्पाद Z: ₹40 प्रति यूनिट

इसलिए, उद्देश्य फलन होगा:

अधिकतम करें $Z = 80x_1 + 60x_2 + 40x_3$

3. बाधाएँ (Constraints):

दो मुख्य बाधाएँ हैं: कच्चे माल की उपलब्धता और श्रम घंटों की उपलब्धता।

कच्चे माल की बाधा (Raw Material Constraint):

प्रत्येक उत्पाद के लिए प्रति यूनिट आवश्यक कच्चा माल और कुल उपलब्धता 800 kg है:

• उत्पाद X: 6 kg प्रति यूनिट
• उत्पाद Y: 4 kg प्रति यूनिट
• उत्पाद Z: 2 kg प्रति यूनिट

इसलिए, कच्चे माल की बाधा होगी:

$6x_1 + 4x_2 + 2x_3 \le 800$

श्रम घंटों की बाधा (Labor Hours Constraint):

प्रत्येक उत्पाद के लिए प्रति यूनिट आवश्यक श्रम घंटे और कुल उपलब्धता 600 घंटे है:

• उत्पाद X: 5 घंटे प्रति यूनिट
• उत्पाद Y: 4 घंटे प्रति यूनिट
• उत्पाद Z: 3 घंटे प्रति यूनिट

इसलिए, श्रम घंटों की बाधा होगी:

$5x_1 + 4x_2 + 3x_3 \le 600$

गैर-नकारात्मकता बाधा (Non-negativity Constraint):

उत्पादित इकाइयों की संख्या नकारात्मक नहीं हो सकती:

$x_1, x_2, x_3 \ge 0$

इस प्रकार, Techline Pvt. Ltd. के लिए रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का पूर्ण निरूपण है:

अधिकतम करें $Z = 80x_1 + 60x_2 + 40x_3$

निम्न बाधाओं के अधीन:

$6x_1 + 4x_2 + 2x_3 \le 800$ (कच्चा माल)

$5x_1 + 4x_2 + 3x_3 \le 600$ (श्रम घंटे)

$x_1, x_2, x_3 \ge 0$

उत्पाद W के लिए विश्लेषण

अब, हमें कंपनी के लिए एक नए उत्पाद 'W' को अपने उत्पादन मिश्रण में शामिल करने पर विचार करना होगा। उत्पाद W के विवरण हैं:

• प्रति यूनिट कच्चा माल: 2 kg
• प्रति यूनिट श्रम: 2 घंटे
• प्रति यूनिट लाभ योगदान: ₹35

इस विश्लेषण के लिए, हमें इष्टतम समाधान से प्राप्त शैडो प्राइस (Shadow Prices) या दोहरी कीमतों (Dual Prices) की आवश्यकता होगी। शैडो प्राइस इंगित करता है कि किसी संसाधन की एक अतिरिक्त इकाई से कुल लाभ में कितनी वृद्धि होगी यदि वह संसाधन एक बाधा है। चूँकि इस प्रश्न में इष्टतम समाधान की गणना नहीं की गई है, हम सामान्य सिद्धांतों के आधार पर विश्लेषण करेंगे।

यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कंपनी को उत्पाद W को अपने उत्पादन मिश्रण में शामिल करना चाहिए, हमें उत्पाद W के प्रति यूनिट लाभ को उस संसाधन लागत (संसाधनों की शैडो प्राइस के आधार पर) के साथ तुलना करनी होगी जिसका वह उपयोग करता है। यदि उत्पाद W का प्रति यूनिट लाभ संसाधनों की लागत से अधिक है, तो इसे शामिल करना फायदेमंद होगा।

उत्पाद W द्वारा उपभोग किए गए संसाधनों की लागत की गणना करें:

• कच्चा माल: 2 kg
• श्रम घंटे: 2 घंटे

मान लीजिए कि LPP को हल करने पर हमें निम्नलिखित शैडो प्राइस प्राप्त होते हैं (ये केवल उदाहरण के लिए हैं, वास्तविक LPP हल किए बिना प्राप्त नहीं किए जा सकते):

• कच्चे माल के लिए शैडो प्राइस (प्रति kg): $S_1$
• श्रम घंटों के लिए शैडो प्राइस (प्रति घंटा): $S_2$

उत्पाद W के लिए अवसर लागत (Opportunity Cost) या संसाधनों की लागत होगी:

संसाधनों की लागत (W) = (2 kg * $S_1$) + (2 घंटे * $S_2$)

यदि उत्पाद W का प्रति यूनिट लाभ योगदान (₹35) इसकी संसाधनों की अवसर लागत से अधिक है, तो इसे उत्पादन मिश्रण में शामिल करना चाहिए।

अर्थात्, यदि ₹35 > (2 * $S_1$) + (2 * $S_2$), तो उत्पाद W को शामिल करना चाहिए।

विश्लेषण का आधार:

बिना वास्तविक शैडो प्राइस के, हम एक तुलनात्मक विश्लेषण कर सकते हैं। अन्य उत्पादों की तुलना में W के संसाधन उपयोग और लाभ पर विचार करें।

उत्पाद	प्रति यूनिट कच्चा माल (Kg)	प्रति यूनिट श्रम (घंटे)	प्रति यूनिट लाभ (₹)	लाभ/कच्चा माल (₹/Kg)	लाभ/श्रम (₹/घंटा)
X	6	5	80	13.33	16.00
Y	4	4	60	15.00	15.00
Z	2	3	40	20.00	13.33
W	2	2	35	17.50	17.50

उपरोक्त तालिका से, हम देख सकते हैं कि:

• लाभ/कच्चा माल: उत्पाद Z (₹20/Kg) सबसे कुशल है, उसके बाद W (₹17.50/Kg), Y (₹15.00/Kg) और X (₹13.33/Kg) हैं।
• लाभ/श्रम: उत्पाद W (₹17.50/घंटा) सबसे कुशल है, उसके बाद X (₹16.00/घंटा), Y (₹15.00/घंटा) और Z (₹13.33/घंटा) हैं।

यह विश्लेषण इंगित करता है कि उत्पाद W कच्चे माल और श्रम दोनों के उपयोग में अपेक्षाकृत कुशल है। विशेष रूप से, यह प्रति घंटा श्रम के मामले में सबसे अधिक लाभ उत्पन्न करता है, और प्रति किलो कच्चे माल के मामले में Z के बाद दूसरे स्थान पर है।

क्या कंपनी को इस नए उत्पाद को अपने उत्पादन मिश्रण में लाना चाहिए?

इस प्रश्न का निश्चित उत्तर देने के लिए, इष्टतम LPP समाधान से प्राप्त सटीक शैडो प्राइस की आवश्यकता होगी। हालांकि, यदि कंपनी के पास इन संसाधनों की कमी है (जो कि बाधाओं से स्पष्ट है), तो शैडो प्राइस सकारात्मक होंगे।

यदि शैडो प्राइस बहुत अधिक नहीं हैं, तो उत्पाद W को शामिल करना एक अच्छा विकल्प हो सकता है, क्योंकि यह प्रति इकाई संसाधनों का कुशलता से उपयोग करता है और एक सम्मानजनक लाभ योगदान (₹35) प्रदान करता है। विशेष रूप से, यदि श्रम घंटों की बाधा अधिक बाध्यकारी है (यानी, $S_2$ का मान अधिक है), तो W को शामिल करना और भी आकर्षक हो सकता है क्योंकि यह प्रति श्रम घंटे अधिक लाभ देता है।

निष्कर्ष: बिना LPP को हल किए शैडो प्राइस के बिना एक निश्चित निर्णय देना मुश्किल है। हालांकि, यदि वर्तमान इष्टतम समाधान में कुछ संसाधनों का अप्रयुक्त क्षमता मौजूद है या यदि उत्पाद W का योगदान मार्जिन ($35) उस अवसर लागत को पार करता है जो वह उपयोग किए गए संसाधनों के लिए पैदा करेगा, तो कंपनी को इसे शामिल करने पर विचार करना चाहिए। प्रारंभिक विश्लेषण से पता चलता है कि W संसाधनों का कुशलता से उपयोग करता है, खासकर श्रम घंटों के संबंध में। कंपनी को पहले LPP को हल करके इष्टतम मिश्रण और शैडो प्राइस की गणना करनी चाहिए, और फिर संवेदनशीलता विश्लेषण के माध्यम से W के समावेश का मूल्यांकन करना चाहिए। यदि वर्तमान उत्पादन मिश्रण में किसी संसाधन की सीमा (constraint) अप्रयुक्त है, तो W को बिना किसी अन्य उत्पाद के उत्पादन को कम किए भी शामिल किया जा सकता है।