पशु आहार प्रभावशीलता तुलना

परिकल्पना परीक्षण की चरण-दर-चरण प्रक्रिया

परिकल्पना परीक्षण में आम तौर पर निम्नलिखित चरण शामिल होते हैं:

• शून्य परिकल्पना (H₀) और वैकल्पिक परिकल्पना (H₁) स्थापित करना।
• महत्व स्तर (α) निर्धारित करना।
• उपयुक्त टेस्ट स्टैटिस्टिक की गणना करना।
• क्रिटिकल मान या p-मान का निर्धारण करना।
• शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने या अस्वीकार न करने के संबंध में एक निष्कर्ष निकालना।

केस 1: स्वतंत्र नमूने (स्वतंत्र टी-परीक्षण)

जब दोनों नमूने स्वतंत्र होते हैं, तो हम यह जांचने के लिए स्वतंत्र नमूना टी-परीक्षण का उपयोग करते हैं कि क्या चारा B चारा A से अधिक प्रभावी है। 1. परिकल्पनाएँ स्थापित करना:

• शून्य परिकल्पना (H₀): μ_B ≤ μ_A (चारा B, चारा A से अधिक प्रभावी नहीं है, या चारा B और चारा A के बीच कोई महत्वपूर्ण अंतर नहीं है।)
• वैकल्पिक परिकल्पना (H₁): μ_B > μ_A (चारा B, चारा A से अधिक प्रभावी है।)

यह एक एकल-पूंछ वाला परीक्षण है क्योंकि हम विशेष रूप से यह जांच कर रहे हैं कि क्या चारा B "अधिक प्रभावी" है। 2. महत्व स्तर: दिया गया महत्व स्तर α = 0.025 है। 3. दिए गए डेटा: चारा A का भार (किलोग्राम में): 45, 48, 47, 50, 46, 49, 47, 48 चारा B का भार (किलोग्राम में): 51, 53, 52, 55, 50, 52, 54, 33 4. सांख्यिकीय गणनाएँ: हमें प्रत्येक चारे के लिए माध्य (mean) और मानक विचलन (standard deviation) की गणना करनी होगी। चारा A:

• अवलोकन (n_A) = 8
• योग (ΣX_A) = 45+48+47+50+46+49+47+48 = 380
• माध्य (X̄_A) = 380 / 8 = 47.5
• विचलन (X_A - X̄_A): -2.5, 0.5, -0.5, 2.5, -1.5, 1.5, -0.5, 0.5
• वर्ग विचलन ((X_A - X̄_A)²) : 6.25, 0.25, 0.25, 6.25, 2.25, 2.25, 0.25, 0.25
• वर्ग विचलनों का योग (Σ(X_A - X̄_A)²) = 18
• नमूना प्रसरण (s_A²) = Σ(X_A - X̄_A)² / (n_A - 1) = 18 / 7 ≈ 2.5714

चारा B:

• अवलोकन (n_B) = 8
• योग (ΣX_B) = 51+53+52+55+50+52+54+33 = 390
• माध्य (X̄_B) = 390 / 8 = 48.75
• विचलन (X_B - X̄_B): 2.25, 4.25, 3.25, 6.25, 1.25, 3.25, 5.25, -15.75
• वर्ग विचलन ((X_B - X̄_B)²) : 5.0625, 18.0625, 10.5625, 39.0625, 1.5625, 10.5625, 27.5625, 248.0625
• वर्ग विचलनों का योग (Σ(X_B - X̄_B)²) = 360.5
• नमूना प्रसरण (s_B²) = Σ(X_B - X̄_B)² / (n_B - 1) = 360.5 / 7 ≈ 51.5

पूलड प्रसरण (pooled variance) की गणना (यदि प्रसरण बराबर माने जाते हैं): चूंकि नमूना आकार छोटे हैं और प्रसरण काफी भिन्न दिख रहे हैं (2.5714 बनाम 51.5), हम मानेंगे कि प्रसरण असमान हैं और वेल्च के टी-परीक्षण या पूलड प्रसरण के बिना टी-परीक्षण का उपयोग करेंगे। हालाँकि, यदि प्रश्न में प्रसरण की समानता का कोई संकेत नहीं है और यह एक मानक टी-परीक्षण है, तो हम पूलड प्रसरण का उपयोग कर सकते हैं। मान लें कि हम पूलड प्रसरण का उपयोग कर रहे हैं (यदि प्रसरण की समानता की धारणा है): पूलड प्रसरण (s_p²) = [(n_A - 1)s_A² + (n_B - 1)s_B²] / (n_A + n_B - 2) s_p² = [7 * 2.5714 + 7 * 51.5] / (8 + 8 - 2) s_p² = [18 + 360.5] / 14 s_p² = 378.5 / 14 ≈ 27.0357 टी-टेस्ट स्टैटिस्टिक की गणना: t = (X̄_B - X̄_A) / √[s_p² * (1/n_A + 1/n_B)] t = (48.75 - 47.5) / √[27.0357 * (1/8 + 1/8)] t = 1.25 / √[27.0357 * (2/8)] t = 1.25 / √[27.0357 * 0.25] t = 1.25 / √[6.7589] t = 1.25 / 2.5998 t ≈ 0.4808 5. स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom, df): df = n_A + n_B - 2 = 8 + 8 - 2 = 14 6. महत्वपूर्ण मान: महत्व स्तर α = 0.025 और df = 14 के साथ एकल-पूंछ वाले टी-वितरण के लिए महत्वपूर्ण t-मान तालिका से देखा जा सकता है। (सारणी संलग्न है - प्रश्न में उल्लेखित) t_critical (0.025, 14) ≈ 2.145 (यह एक सामान्य टी-टेबल से लिया गया मान है। यदि प्रश्न में कोई विशिष्ट तालिका संलग्न है, तो उसका उपयोग किया जाएगा।) 7. निर्णय: चूंकि गणना किया गया t-मान (0.4808) महत्वपूर्ण t-मान (2.145) से कम है, हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने में विफल रहते हैं। 8. निष्कर्ष: महत्व स्तर 0.025 पर, हमारे पास यह निष्कर्ष निकालने के लिए पर्याप्त साक्ष्य नहीं हैं कि चारा B चारा A से अधिक प्रभावी है, जब नमूनों को स्वतंत्र माना जाता है।

केस 2: युग्मित नमूने (युग्मित टी-परीक्षण)

जब जानवरों का वही समूह दोनों चारे प्राप्त करता है, तो यह युग्मित नमूने का मामला बन जाता है। हम प्रत्येक जानवर के लिए दोनों चारे के बीच भार वृद्धि में अंतर (d) की गणना करते हैं और इन अंतरों पर टी-परीक्षण करते हैं। 1. परिकल्पनाएँ स्थापित करना:

• शून्य परिकल्पना (H₀): μ_d ≤ 0 (चारा B चारा A से अधिक प्रभावी नहीं है।)
• वैकल्पिक परिकल्पना (H₁): μ_d > 0 (चारा B चारा A से अधिक प्रभावी है।)

यह भी एक एकल-पूंछ वाला परीक्षण है। 2. महत्व स्तर: दिया गया महत्व स्तर α = 0.01 है। 3. दिए गए डेटा और अंतर (d): | जानवर | चारा A (X_A) | चारा B (X_B) | अंतर (d = X_B - X_A) | (d - d̄)² | |--------|--------------|--------------|-----------------------|-----------| | 1 | 45 | 51 | 6 | (6 - d̄)² | | 2 | 48 | 53 | 5 | (5 - d̄)² | | 3 | 47 | 52 | 5 | (5 - d̄)² | | 4 | 50 | 55 | 5 | (5 - d̄)² | | 5 | 46 | 50 | 4 | (4 - d̄)² | | 6 | 49 | 52 | 3 | (3 - d̄)² | | 7 | 47 | 54 | 7 | (7 - d̄)² | | 8 | 48 | 33 | -15 | (-15 - d̄)²| 4. सांख्यिकीय गणनाएँ:

• अंतरों का योग (Σd) = 6 + 5 + 5 + 5 + 4 + 3 + 7 - 15 = 20
• अंतरों का माध्य (d̄) = Σd / n = 20 / 8 = 2.5

अब हमें d के लिए मानक विचलन (s_d) की गणना करनी होगी।

• (d - d̄): 3.5, 2.5, 2.5, 2.5, 1.5, 0.5, 4.5, -17.5
• (d - d̄)²: 12.25, 6.25, 6.25, 6.25, 2.25, 0.25, 20.25, 306.25
• Σ(d - d̄)² = 12.25 + 6.25 + 6.25 + 6.25 + 2.25 + 0.25 + 20.25 + 306.25 = 360
• अंतरों का नमूना प्रसरण (s_d²) = Σ(d - d̄)² / (n - 1) = 360 / (8 - 1) = 360 / 7 ≈ 51.4286
• अंतरों का मानक विचलन (s_d) = √s_d² = √51.4286 ≈ 7.1713

टी-टेस्ट स्टैटिस्टिक की गणना: t = d̄ / (s_d / √n) t = 2.5 / (7.1713 / √8) t = 2.5 / (7.1713 / 2.8284) t = 2.5 / 2.5354 t ≈ 0.986 5. स्वतंत्रता की कोटि (df): df = n - 1 = 8 - 1 = 7 6. महत्वपूर्ण मान: महत्व स्तर α = 0.01 और df = 7 के साथ एकल-पूंछ वाले टी-वितरण के लिए महत्वपूर्ण t-मान तालिका से देखा जा सकता है। (सारणी संलग्न है - प्रश्न में उल्लेखित) t_critical (0.01, 7) ≈ 2.998 (यह एक सामान्य टी-टेबल से लिया गया मान है। यदि प्रश्न में कोई विशिष्ट तालिका संलग्न है, तो उसका उपयोग किया जाएगा।) 7. निर्णय: चूंकि गणना किया गया t-मान (0.986) महत्वपूर्ण t-मान (2.998) से कम है, हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने में विफल रहते हैं। 8. निष्कर्ष: महत्व स्तर 0.01 पर, हमारे पास यह निष्कर्ष निकालने के लिए पर्याप्त साक्ष्य नहीं हैं कि चारा B, चारा A से अधिक प्रभावी है, भले ही जानवरों का वही समूह दोनों चारे प्राप्त करता हो। चारा B में एक जानवर का असाधारण रूप से कम भार वृद्धि (33 किग्रा) ने माध्य अंतर को प्रभावित किया है, जिससे इसका प्रभाव कम हो गया है।

दोनों मामलों में, सांख्यिकीय रूप से यह निष्कर्ष निकालने के लिए पर्याप्त सबूत नहीं हैं कि चारा B चारा A से बेहतर है। पहले मामले में, स्वतंत्र नमूनों के साथ, छोटे माध्य अंतर और अपेक्षाकृत उच्च प्रसरण ने महत्व को कम कर दिया। दूसरे मामले में, युग्मित नमूनों के साथ, एक जानवर के अप्रत्याशित रूप से कम भार वृद्धि ने माध्य अंतर और उसके मानक विचलन को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित किया, जिससे परिणाम गैर-महत्वपूर्ण हो गए।