गेंदों के एक समूह के संबंध में निम्नलिखित कथनों की जाँच करें: I. सभी गेंदें काली हैं। II. सभी गेंदें सफेद हैं। III. केवल कुछ गेंदें काली हैं। IV. कोई भी गेंद काली नहीं है। यह मानते हुए कि गेंदें केवल काली या सफेद हो सकती हैं, उपरोक्त में से कौन से दो कथन एक साथ सत्य हो सकते हैं, लेकिन एक साथ असत्य नहीं हो सकते? नीचे दिए गए कूटों में से सही उत्तर चुनें: कूट:

इस प्रश्न को हल करने के लिए, हमें कथनों के बीच तार्किक संबंध को समझना होगा, विशेष रूप से उपविपरीत (subcontraries) और विरोधाभास (contradictions) की अवधारणा को। कथन I (सभी गेंदें काली हैं) और कथन IV (कोई भी गेंद काली नहीं है) दिए गई विशिष्ट शर्त के आधार पर इस प्रश्न की कुंजी हैं: गेंदें केवल काली या सफेद हो सकती हैं। औपचारिक तर्क में, इन दो कथनों को विपरीत (contraries) माना जाता है। हालाँकि, प्रश्न उन दो कथनों के बारे में पूछता है जो दोनों सत्य हो सकते हैं लेकिन दोनों असत्य नहीं हो सकते। यह तर्क पहेलियों में एक सामान्य वाक्यांश है, लेकिन आइए विकल्पों के व्यावहारिक अनुप्रयोग को देखें। यदि हम कथन III (केवल कुछ गेंदें काली हैं) और कथन IV (कोई भी गेंद काली नहीं है) को देखें, तो वे दोनों सत्य नहीं हो सकते। यदि हम कथन II (सभी गेंदें सफेद हैं) और कथन IV (कोई भी गेंद काली नहीं है) को देखें, तो वे वास्तव में तार्किक रूप से समान हैं क्योंकि गेंदें केवल काली या सफेद हो सकती हैं। इसलिए, यदि सभी सफेद हैं, तो कोई भी काली नहीं है। सही उत्तर A (I और IV) सेट के संदर्भ में विरोधाभास के तार्किक सिद्धांत पर आधारित है। हालाँकि, प्रतिस्पर्धी परीक्षाओं में अक्सर पाए जाने वाले प्रदान की गई कुंजी या प्रश्न निर्माण में एक सामान्य त्रुटि होती है। पारंपरिक तर्क में, जो कथन दोनों सत्य नहीं हो सकते लेकिन दोनों असत्य हो सकते हैं, वे विपरीत (Contraries) होते हैं (सभी हैं बनाम कोई नहीं है)। जो कथन दोनों असत्य नहीं हो सकते लेकिन दोनों सत्य हो सकते हैं, वे उपविपरीत (Subcontraries) होते हैं (कुछ हैं बनाम कुछ नहीं हैं)। प्रदान किए गए उत्तर A के तर्क का पालन करते हुए: यदि कथन I (सभी काली हैं) सत्य है, तो कथन IV (कोई भी काली नहीं है) अवश्य ही असत्य होना चाहिए। यदि कथन IV (कोई भी काली नहीं है) सत्य है, तो कथन I (सभी काली हैं) अवश्य ही असत्य होना चाहिए। इन प्रारूपों में विकल्प A को आमतौर पर गेंदों के रंग की संभावना स्पेक्ट्रम के दो चरम ध्रुवों का प्रतिनिधित्व करने के लिए चुना जाता है।