एक समबाहु त्रिभुजाकार प्लेट को $n$ संख्या में समान छोटी समबाहु त्रिभुजाकार प्लेटों में काटा जाना है। निम्नलिखित में से कौन सा $n$ का संभावित मान हो सकता है?

एक समबाहु त्रिभुजाकार प्लेट को 'n' समान छोटी समबाहु त्रिभुजाकार प्लेटों में काटने के लिए, संख्या 'n' एक पूर्ण वर्ग होनी चाहिए। ऐसा इसलिए है क्योंकि यदि बड़े त्रिभुज की भुजा को 'k' समान खंडों में विभाजित किया जाता है, तो बनने वाले छोटे समान समबाहु त्रिभुजों की कुल संख्या k^2 होगी।

आइए दिए गए विकल्पों की जांच करें: A) 196 = 14^2. यह एक पूर्ण वर्ग है। B) 216. यह एक पूर्ण वर्ग नहीं है (14^2 = 196, 15^2 = 225)। C) 256 = 16^2. यह एक पूर्ण वर्ग है। D) 296. यह एक पूर्ण वर्ग नहीं है (17^2 = 289, 18^2 = 324)।

196 और 256 दोनों पूर्ण वर्ग हैं, जिसका अर्थ है कि वे सामान्य नियम के तहत 'n' के लिए गणितीय रूप से संभव मान हैं। हालांकि, ऐसे प्रश्नों में, कभी-कभी विभाजन की एक विशिष्ट विधि निहित रूप से मानी जाती है। एक सामान्य विधि पुनरावर्ती विभाजन है: किसी समबाहु त्रिभुज को उसकी भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़कर 4 छोटी समान समबाहु त्रिभुजों में विभाजित करना। यदि इस प्रक्रिया को दोहराया जाता है, तो सबसे छोटी त्रिभुजों की कुल संख्या 4 की घात होगी (जैसे, 4, 16, 64, 256, आदि)।

आइए जांच करें कि पूर्ण वर्ग विकल्पों में से कौन सा 4 की घात भी है:

• 196, 4 की घात नहीं है (4^3 = 64, 4^4 = 256)।
• 256, 4^4 (या 16^2) है। यह 4 की घात है।

इसलिए, पुनरावर्ती विभाजन की संभावना को ध्यान में रखते हुए, दिए गए विकल्पों में से 256 सबसे उपयुक्त उत्तर है।

अंतिम उत्तर C है।