एक वर्ग को 9 समान छोटे वर्गों में विभाजित किया गया है। इन छोटे वर्गों में 6 समान गेंदों को इस प्रकार रखा जाना है कि प्रत्येक पंक्ति में कम से कम एक गेंद हो (एक वर्ग में केवल एक गेंद)। यह कितने विभिन्न तरीकों से किया जा सकता है?

6 समान गेंदों को 9 वर्गों में इस प्रकार रखने के कुल तरीकों को ज्ञात करने के लिए कि प्रत्येक पंक्ति में कम से कम एक गेंद हो, जहाँ प्रत्येक पंक्ति में 3 वर्ग हैं, हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं: 1. कुल संयोजन: सबसे पहले, बिना किसी प्रतिबंध के 9 वर्गों में से 6 वर्गों को चुनने के कुल तरीके की गणना करें। यह 9C6 है, जो 9C3 के बराबर है। गणना: (9 x 8 x 7) / (3 x 2 x 1) = 84 तरीके। 2. प्रतिबंधित मामलों की पहचान: हमें उन मामलों को घटाना होगा जहाँ एक या अधिक पंक्तियाँ खाली रहती हैं। चूँकि 9 वर्गों में 6 गेंदें रखी जानी हैं, इसलिए दो पंक्तियाँ खाली रहना असंभव है क्योंकि एक पंक्ति में केवल 3 वर्ग होते हैं, और हमारे पास 6 गेंदें हैं। इसलिए, हमें केवल उन मामलों को घटाने की आवश्यकता है जहाँ ठीक एक पंक्ति खाली हो। 3. खाली पंक्ति मामलों की गणना: यदि एक पंक्ति खाली है, तो सभी 6 गेंदों को शेष दो पंक्तियों में रखा जाना चाहिए। चूँकि शेष दो पंक्तियों में कुल मिलाकर ठीक 6 वर्ग हैं, इसलिए उन्हें भरने का केवल 1 तरीका है (प्रत्येक वर्ग में 1 गेंद)। 4. घटाव लागू करना: 3 संभावित पंक्तियाँ हैं जो खाली हो सकती हैं (पंक्ति I, पंक्ति II, या पंक्ति III)। इसलिए, 3 ऐसे मामले हैं जहाँ एक पंक्ति खाली रहती है। 5. अंतिम परिणाम: कुल तरीके माइनस प्रतिबंधित तरीके = 84 माइनस 3 = 81। अतः, गेंदों को इस प्रकार रखने के 81 विभिन्न तरीके हैं कि प्रत्येक पंक्ति को कम से कम एक गेंद मिले। सही विकल्प D है।