एक सीधी रेखा खंड 36 सेमी लंबा है। रेखा पर दोनों अंतिम बिंदुओं से बिंदु अंकित किए जाने हैं। प्रत्येक सिरे से, पहला बिंदु सिरे से 1 सेमी की दूरी पर है, दूसरा बिंदु पहले बिंदु से 2 सेमी की दूरी पर है और तीसरा बिंदु दूसरे बिंदु से 3 सेमी की दूरी पर है, और इसी तरह आगे भी। यदि सिरों पर बिंदुओं को नहीं गिना जाता है और सामान्य बिंदुओं को एक गिना जाता है, तो बिंदुओं की संख्या क्या है?

इस प्रश्न में हमें 36 सेमी लंबे रेखा खंड पर अंकित अद्वितीय बिंदुओं की कुल संख्या ज्ञात करनी है, जिसमें अंतिम बिंदुओं को छोड़कर। बिंदुओं को दोनों सिरों से एक विशिष्ट पैटर्न का पालन करते हुए अंकित किया गया है। 1. बाएं सिरे से अंकित बिंदु: पहला बिंदु सिरे से 1 सेमी की दूरी पर है। दूसरा बिंदु सिरे से 1+2 = 3 सेमी की दूरी पर है। तीसरा बिंदु सिरे से 1+2+3 = 6 सेमी की दूरी पर है। k-वाँ बिंदु पहले k पूर्णांकों के योग की दूरी पर है, जो सिरे से k(k+1)/2 सेमी है। हमें उन बिंदुओं को ज्ञात करना है जो सिरे (36 सेमी) पर नहीं हैं। आइए बाएं सिरे से दूरियों को सूचीबद्ध करें: k=1: 1 सेमी k=2: 3 सेमी k=3: 6 सेमी k=4: 10 सेमी k=5: 15 सेमी k=6: 21 सेमी k=7: 28 सेमी k=8 के लिए, स्थिति 8(8+1)/2 = 36 सेमी होगी, जो कि दायां अंतिम बिंदु है और गिना नहीं जाता है। इसलिए, बाएं सिरे से बिंदु हैं: {1, 3, 6, 10, 15, 21, 28}। (कुल 7 बिंदु) 2. दाएं सिरे से अंकित बिंदु: ये बिंदु समान पैटर्न का पालन करते हैं, लेकिन उनकी दूरियां दाएं सिरे से मापी जाती हैं। बाएं सिरे से बिंदुओं के साथ उनकी तुलना करने के लिए, हम उनकी स्थितियों को बाएं सिरे (0 सेमी) से दूरियों में परिवर्तित करते हैं। कुल लंबाई 36 सेमी है। दाएं से पहला बिंदु: दाएं सिरे से 1 सेमी -> बाएं सिरे से 36 - 1 = 35 सेमी। दाएं से दूसरा बिंदु: दाएं सिरे से 1+2 = 3 सेमी -> बाएं सिरे से 36 - 3 = 33 सेमी। दाएं से तीसरा बिंदु: दाएं सिरे से 1+2+3 = 6 सेमी -> बाएं सिरे से 36 - 6 = 30 सेमी। दाएं से चौथा बिंदु: दाएं सिरे से 1+2+3+4 = 10 सेमी -> बाएं सिरे से 36 - 10 = 26 सेमी। दाएं से पांचवां बिंदु: दाएं सिरे से 1+2+3+4+5 = 15 सेमी -> बाएं सिरे से 36 - 15 = 21 सेमी। दाएं से छठा बिंदु: दाएं सिरे से 1+2+3+4+5+6 = 21 सेमी -> बाएं सिरे से 36 - 21 = 15 सेमी। दाएं से सातवां बिंदु: दाएं सिरे से 1+2+3+4+5+6+7 = 28 सेमी -> बाएं सिरे से 36 - 28 = 8 सेमी। k=8 के लिए, स्थिति दाएं सिरे से 36 सेमी होगी, जो कि बायां अंतिम बिंदु है और गिना नहीं जाता है। इसलिए, दाएं सिरे से बिंदु (बाएं सिरे से दूरी में परिवर्तित) हैं: {35, 33, 30, 26, 21, 15, 8}। (कुल 7 बिंदु) 3. अद्वितीय बिंदुओं को मिलाएं और गिनें: बाएं से बिंदु: L = {1, 3, 6, 10, 15, 21, 28} दाएं से बिंदु: R = {8, 15, 21, 26, 30, 33, 35} (स्पष्टता के लिए पुनर्व्यवस्थित) हमें अद्वितीय बिंदुओं की संख्या ज्ञात करनी है, सामान्य बिंदुओं को एक गिनना है। यह दो समुच्चयों के संघ का आकार है, |L U R| सामान्य बिंदु (L और R का प्रतिच्छेदन): {15, 21}। 2 सामान्य बिंदु हैं। कुल अद्वितीय बिंदु = |L| + |R| - |L प्रतिच्छेदन R| कुल अद्वितीय बिंदु = 7 + 7 - 2 = 14 - 2 = 12। बिंदुओं की संख्या 12 है। अंतिम उत्तर B है।