एक वृत्त में 40 बच्चे खड़े हैं और उनमें से एक (मान लीजिए बच्चा-1) के पास एक अंगूठी है। अंगूठी दक्षिणावर्त (clockwise) घुमाई जाती है। बच्चा-1, बच्चे-2 को देता है, बच्चा-2, बच्चे-4 को देता है, बच्चा-4, बच्चे-7 को देता है, और इसी तरह। कितने ऐसे बदलावों (बच्चा-1 सहित) के बाद अंगूठी फिर से बच्चा-1 के हाथों में होगी?

अंगूठी बच्चे-1 के पास से शुरू होती है। घुमाने का पैटर्न है: बच्चा-1, बच्चे-2 को देता है (1 का उछाल) बच्चा-2, बच्चे-4 को देता है (2 का उछाल) बच्चा-4, बच्चे-7 को देता है (3 का उछाल) और इसी तरह। प्रत्येक बार उछाल 1 से बढ़ जाता है।

मान लीजिए 'k' बदलावों (पास) की संख्या है। 'k' बदलावों के बाद कुल विस्थापन (उछालों का योग) S_k = 1 + 2 + 3 + ... + k है। पहले 'k' प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करके, S_k = k * (k + 1) / 2।

अंगूठी को बच्चे-1 के पास वापस आने के लिए, कुल विस्थापन बच्चों की कुल संख्या (40) का गुणज होना चाहिए। इसलिए, S_k, 40 का गुणज होना चाहिए। k * (k + 1) / 2 = 40 * m (जहाँ 'm' एक पूर्णांक है) k * (k + 1) = 80 * m

हमें सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक 'k' ज्ञात करना है जिसके लिए k * (k + 1), 80 का गुणज हो। मानों का परीक्षण करें: यदि k = 14: k * (k + 1) = 14 * 15 = 210। 210, 80 का गुणज नहीं है। यदि k = 15: k * (k + 1) = 15 * 16 = 240। 240, 80 का गुणज है (240 = 3 * 80)।

इस प्रकार, 15 बदलावों के बाद, अंगूठी फिर से बच्चे-1 के हाथों में होगी।

अंतिम उत्तर B) 15 है।