निम्नलिखित तर्क पर विचार करें: "शिक्षक बनने के लिए महाविद्यालय से स्नातक होना आवश्यक है। सभी कवि निर्धन हैं। कुछ गणितज्ञ कवि हैं। कोई भी महाविद्यालय स्नातक निर्धन नहीं है।" उपरोक्त तर्क के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा एक वैध निष्कर्ष नहीं है?

आइए तर्क को तोड़ें और दिए गए आधार वाक्यों से निष्कर्ष निकालें:

आधार वाक्य:

1. शिक्षक (T) बनने के लिए, महाविद्यालय (C) से स्नातक होना आवश्यक है। (T -> C)
2. सभी कवि (P) निर्धन (R) हैं। (P -> R)
3. कुछ गणितज्ञ (M) कवि (P) हैं। (कुछ M, P हैं)
4. कोई भी महाविद्यालय स्नातक (C) निर्धन (R) नहीं है। (C -> not R)

आइए कुछ प्रत्यक्ष निष्कर्ष निकालें:

• (1) T -> C और (4) C -> not R से, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं: शिक्षक निर्धन नहीं हैं (T -> not R)।
• (2) P -> R और (4) C -> not R (जिसका अर्थ है R -> not C) से, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं: कवि महाविद्यालय स्नातक नहीं हैं (P -> not C)।
• (P -> not C) और (1) T -> C (जिसका अर्थ है not C -> not T) से, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं: कवि शिक्षक नहीं हैं (P -> not T)।

अब आइए प्रत्येक विकल्प का मूल्यांकन करें:

A) कुछ गणितज्ञ शिक्षक नहीं हैं।

• हम (3) से जानते हैं कि कुछ M, P हैं।
• हमने निष्कर्ष निकाला है कि कवि शिक्षक नहीं हैं (P -> not T)।
• यदि कुछ गणितज्ञ कवि हैं, और सभी कवि शिक्षक नहीं हैं, तो यह तार्किक रूप से अनुसरण करता है कि वे विशिष्ट गणितज्ञ जो कवि हैं, वे शिक्षक नहीं हैं। इसलिए, कुछ गणितज्ञ शिक्षक नहीं हैं एक वैध निष्कर्ष है।

B) कुछ शिक्षक गणितज्ञ नहीं हैं।

• यह जांचने के लिए कि क्या यह एक वैध निष्कर्ष है, आइए विचार करें कि क्या इसका विपरीत ("सभी शिक्षक गणितज्ञ हैं") किसी भी आधार वाक्य का खंडन किए बिना सत्य हो सकता है।
• यदि "सभी शिक्षक गणितज्ञ हैं" सत्य है, तो इसका मतलब है कि शिक्षकों का समूह गणितज्ञों के समूह का एक उपसमूह है।
• हम जानते हैं कि कवि शिक्षक नहीं हैं (P -> not T)। इसका मतलब है कि कवियों का समूह और शिक्षकों का समूह अलग-अलग हैं।
• हम जानते हैं कि कुछ गणितज्ञ कवि हैं (कुछ M, P हैं)। इसका मतलब है कि गणितज्ञों और कवियों के बीच एक ओवरलैप है।
• यह पूरी तरह से संभव है कि एक ऐसी स्थिति हो जहां सभी शिक्षक गणितज्ञ हों, और कुछ गणितज्ञ कवि हों, जब तक कि वे शिक्षक जो गणितज्ञ हैं, वे वही गणितज्ञ न हों जो कवि हैं। उदाहरण के लिए, गणितज्ञों में दो समूह शामिल हो सकते हैं: वे जो शिक्षक हैं, और वे जो कवि हैं (और ये दो समूह अलग-अलग हैं)।
• चूंकि "सभी शिक्षक गणितज्ञ हैं" आधार वाक्यों के अनुरूप एक संभावना है, "कुछ शिक्षक गणितज्ञ नहीं हैं" एक आवश्यक निष्कर्ष नहीं है। इसलिए, यह एक वैध निष्कर्ष नहीं है।

C) शिक्षक निर्धन नहीं हैं।

• जैसा कि ऊपर निष्कर्ष निकाला गया है, T -> C और C -> not R से, हमें T -> not R (शिक्षक निर्धन नहीं हैं) प्राप्त होता है। यह एक वैध निष्कर्ष है।

D) कवि शिक्षक नहीं हैं।

• जैसा कि ऊपर निष्कर्ष निकाला गया है, P -> R, R -> not C, और not C -> not T से, हमें P -> not T (कवि शिक्षक नहीं हैं) प्राप्त होता है। यह एक वैध निष्कर्ष है।

अंतिम उत्तर B है क्योंकि यह एकमात्र कथन है जिसे दिए गए आधार वाक्यों से आवश्यक रूप से निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता है; इसका विपरीत तर्क के अनुरूप है।

अंतिम उत्तर B है