सड़क जो उत्तर-दक्षिण दिशा में जाती है, उसके आमने-सामने A और B के घर हैं, A का घर पश्चिमी दिशा में है। A अपने घर से बाहर निकलता है, बाएँ मुड़ता है, 5 किमी चलता है, दाएँ मुड़ता है, 5 किमी चलकर D के घर के सामने पहुँचता है। B ठीक वैसा ही करता है और C के घर के सामने पहुँचता है। इस संदर्भ में, निम्नलिखित कथनों में से कौन सा सही है?

आइए गतियों और स्थितियों का विश्लेषण करें:

1. प्रारंभिक व्यवस्था:

   • सड़क उत्तर-दक्षिण दिशा में जाती है।
   • A का घर पश्चिमी दिशा में है।
   • B का घर पूर्वी दिशा में है, जो A के घर के सामने है।
   • मान लीजिए A का घर मूल बिंदु (0,0) पर है।
   • चूंकि B का घर पूर्वी दिशा में A के घर के सामने है, B का घर (w,0) पर होगा, जहाँ 'w' सड़क की चौड़ाई है।

2. D के घर तक A की गति:

   • A अपने घर से बाहर निकलता है ( (0,0) से, पूर्व की ओर मुख करके)।
   • बाएँ मुड़ता है (अब उत्तर की ओर मुख करके)।
   • 5 किमी चलता है ( (0, 5) पर पहुँचता है)।
   • दाएँ मुड़ता है (अब पूर्व की ओर मुख करके)।
   • 5 किमी चलकर D के घर पहुँचता है ( (5, 5) पर पहुँचता है)।
   • अतः, D का घर (5, 5) पर है।

3. C के घर तक B की गति:

   • B ठीक वैसा ही करता है। B अपने घर से बाहर निकलता है ( (w,0) से, पश्चिम की ओर मुख करके)।
   • बाएँ मुड़ता है (अब दक्षिण की ओर मुख करके)।
   • 5 किमी चलता है ( (w, -5) पर पहुँचता है)।
   • दाएँ मुड़ता है (अब पश्चिम की ओर मुख करके)।
   • 5 किमी चलकर C के घर पहुँचता है ( (w - 5, -5) पर पहुँचता है)।
   • अतः, C का घर (w - 5, -5) पर है।

4. C और D के बीच की दूरी की गणना:

   • D = (5, 5)
   • C = (w - 5, -5)
   • दूरी = sqrt[ (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 ]
   • दूरी = sqrt[ ( (w - 5) - 5 )^2 + ( -5 - 5 )^2 ]
   • दूरी = sqrt[ (w - 10)^2 + (-10)^2 ]
   • दूरी = sqrt[ (w - 10)^2 + 100 ]

अब प्रत्येक विकल्प का मूल्यांकन करें: A) C और D एक ही सड़क पर रहते हैं। * D (5, 5) पर है और C (w - 5, -5) पर है। * उनके एक ही सड़क पर होने के लिए, उनके x-निर्देशांक या y-निर्देशांक समान होने चाहिए। * उनके y-निर्देशांक (5 और -5) भिन्न हैं। * उनके x-निर्देशांक (5 और w-5) तभी समान होंगे जब w = 10। यह किसी भी सड़क की चौड़ाई के लिए सामान्य रूप से सत्य नहीं है। * इसलिए, कथन A गलत है।

B) C का घर दक्षिण की ओर है। * B 5 किमी पश्चिम की ओर चलकर C के घर के सामने पहुँचता है। इसका मतलब है कि B C के घर पर पहुँचते समय पश्चिम की ओर मुख करके है। * यदि B C के घर के सामने पश्चिम की ओर मुख करके है, तो C का घर पूर्व की ओर मुख करके होना चाहिए। * इसलिए, कथन B गलत है।

C) C और D के घर 20 किमी से कम दूरी पर हैं। * हमें यह जांचना होगा कि क्या sqrt[ (w - 10)^2 + 100 ] 0) होना चाहिए। * तो, दूरी 20 किमी से कम है यदि 0 < w < 27.32 किमी। * हालांकि प्रश्न में 'w' निर्दिष्ट नहीं है, ऐसे प्रश्नों में, यह आमतौर पर निहित होता है कि 'w' "सड़क" के लिए एक यथार्थवादी सीमा के भीतर आता है जहाँ घर एक-दूसरे के सामने होते हैं। लगभग 27 किमी तक की सड़क की चौड़ाई बहुत चौड़ी है लेकिन फिर भी संभव है (उदाहरण के लिए, एक बहुत चौड़ा बुलेवार्ड, या एक बड़ी मध्य पट्टी वाला राजमार्ग)। न्यूनतम दूरी (जब w=10) 10 किमी है, जो 20 किमी से कम है। यह देखते हुए कि विकल्प A और B निश्चित रूप से गलत हैं, यह विकल्प सबसे प्रशंसनीय है और एक व्यावहारिक सड़क चौड़ाई की धारणा के तहत सही माना जाता है।

D) उपरोक्त में से कोई नहीं * चूंकि C उचित मान्यताओं के तहत सही है, यह विकल्प गलत है।

अंतिम उत्तर C है।