मान लीजिए P, Q, R, S और T पाँच कथन हैं, इस प्रकार कि: I. यदि P सत्य है, तो Q और S दोनों सत्य हैं। II. यदि R और S सत्य हैं, तो T असत्य है। निम्नलिखित में से क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है? 1. यदि T सत्य है, तो P और R में से कम से कम एक असत्य होना चाहिए। 2. यदि Q सत्य है, तो P सत्य है। नीचे दिए गए कोड का उपयोग करके सही उत्तर चुनें:

दिए गए कथनों का विश्लेषण करें:

I. यदि P सत्य है, तो Q और S दोनों सत्य हैं। (P -> (Q और S)) II. यदि R और S सत्य हैं, तो T असत्य है। ((R और S) -> ¬T)

अब प्रत्येक निष्कर्ष का मूल्यांकन करें:

निष्कर्ष 1: यदि T सत्य है, तो P और R में से कम से कम एक असत्य होना चाहिए। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: T -> (¬P या ¬R)। इसके प्रतिधनात्मक (contrapositive) को सिद्ध करने का प्रयास करें: यदि (P और R) सत्य है, तो T असत्य होना चाहिए। मान लीजिए (P और R) सत्य है। इसका मतलब है कि P सत्य है और R सत्य है।

1. यदि P सत्य है, तो कथन I से, (Q और S) सत्य है। इसका तात्पर्य है कि S सत्य है।
2. अब हमारे पास R सत्य है (हमारी धारणा से) और S सत्य है (चरण 1 से)।
3. चूँकि (R और S) सत्य है, तो कथन II से, T असत्य होना चाहिए। इसलिए, यदि (P और R) सत्य है, तो T असत्य है। यह निष्कर्ष 1 का प्रतिधनात्मक है। चूँकि प्रतिधनात्मक सत्य है, निष्कर्ष 1 स्वयं सत्य है।

वैकल्पिक रूप से, मान लीजिए T सत्य है और देखें कि क्या निकलता है:

1. यदि T सत्य है, तो '¬T' असत्य है।
2. कथन II से, ((R और S) -> ¬T)। चूँकि परिणाम (¬T) असत्य है, तो निहितार्थ (implication) के सत्य होने के लिए पूर्ववर्ती (antecedent) (R और S) को भी असत्य होना चाहिए।
3. इसलिए, यदि T सत्य है, तो (R और S) असत्य है। इसका मतलब है कि (¬R या ¬S) सत्य है।
4. अब हमें यह दिखाना होगा कि (¬P या ¬R) सत्य है। केस A: मान लीजिए P सत्य है। यदि P सत्य है, तो कथन I से, (Q और S) सत्य है, जिसका अर्थ है S सत्य है। हम चरण 3 से जानते हैं कि (¬R या ¬S) सत्य है। यदि S सत्य है, तो (¬R या असत्य) सत्य होना चाहिए, जिसका तात्पर्य है कि ¬R सत्य है। इसलिए, यदि P सत्य है और T सत्य है, तो ¬R सत्य है। यह (¬P या ¬R) को सत्य बनाता है। केस B: मान लीजिए P असत्य है। यदि P असत्य है, तो ¬P सत्य है। यह स्वचालित रूप से (¬P या ¬R) को सत्य बनाता है, चाहे R कुछ भी हो। दोनों ही मामलों में, यदि T सत्य है, तो (¬P या ¬R) सत्य है। इसलिए, निष्कर्ष 1 सही है।

निष्कर्ष 2: यदि Q सत्य है, तो P सत्य है। (Q -> P) कथन I से, हमारे पास P -> (Q और S) है। इसका तात्पर्य है कि P -> Q। निष्कर्ष 2 (Q -> P) P -> Q का विलोम (converse) है। एक सत्य कथन का विलोम आवश्यक रूप से सत्य नहीं होता है। एक ऐसी परिदृश्य पर विचार करें जहाँ P असत्य है, Q सत्य है, और S सत्य है।

• कथन I (P -> (Q और S)) (असत्य -> (सत्य और सत्य)) बन जाता है, जो (असत्य -> सत्य) है, जो सत्य है। तो कथन I मान्य है।
• कथन II ((R और S) -> ¬T) भी मान्य हो सकता है (उदाहरण के लिए, यदि R सत्य है, S सत्य है, T असत्य है)। इस परिदृश्य में, Q सत्य है, लेकिन P असत्य है। इसलिए, "यदि Q सत्य है, तो P सत्य है" असत्य है। इसलिए, निष्कर्ष 2 का निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता है।

विश्लेषण के आधार पर, केवल निष्कर्ष 1 सही है।

अंतिम उत्तर A) केवल 1 है।