एक 3-अंकीय संख्या पर विचार करें। प्रश्न: वह संख्या क्या है? कथन- 1: संख्या के अंकों का योग, अंकों के गुणनफल के बराबर है। कथन- 2: वह संख्या, संख्या के अंकों के योग से विभाज्य है। उपरोक्त प्रश्न और कथनों के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

यहां एक संक्षिप्त व्याख्या दी गई है:

मान लीजिए 3-अंकीय संख्या 100a + 10b + c है।

1. कथन 1 का विश्लेषण: "संख्या के अंकों का योग, अंकों के गुणनफल के बराबर है।" इसका मतलब है a + b + c = a * b * c। यदि कोई अंक 0 है, तो गुणनफल 0 होगा, जिसका अर्थ है a+b+c=0, जो 3-अंकीय संख्या के लिए असंभव है (a शून्य नहीं हो सकता)। इसलिए सभी अंक गैर-शून्य होने चाहिए। व्यवस्थित जांच (या यह साबित करके कि यदि a>=2 है, तो गुणनफल योग की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ता है) के माध्यम से, यह दिखाया जा सकता है कि इस शर्त को पूरा करने वाले अंकों का एकमात्र समूह {1, 2, 3} है। ये अंक निम्नलिखित 3-अंकीय संख्याएँ बना सकते हैं: 123, 132, 213, 231, 312, 321। चूंकि कई संभावित संख्याएँ हैं, इसलिए केवल कथन 1 संख्या को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं है।

2. कथन 2 का विश्लेषण: "वह संख्या, संख्या के अंकों के योग से विभाज्य है।" कुछ संख्याओं का परीक्षण करें:

• 111: अंकों का योग = 3। 111, 3 से विभाज्य है (111/3 = 37)।
• 112: अंकों का योग = 4। 112, 4 से विभाज्य है (112/4 = 28)।
• 120: अंकों का योग = 3। 120, 3 से विभाज्य है (120/3 = 40)। ऐसी कई संख्याएँ हैं। इस प्रकार, केवल कथन 2 संख्या को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं है।

3. दोनों कथनों का एक साथ विश्लेषण: कथन 1 से, अंक {1, 2, 3} होने चाहिए। इन अंकों का योग 1 + 2 + 3 = 6 है। कथन 2 से, संख्या को उसके अंकों के योग, जो कि 6 है, से विभाज्य होना चाहिए। एक संख्या 6 से विभाज्य होती है यदि वह 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो। {1, 2, 3} अंकों से बनी सभी संख्याएँ (जैसे 123, 132, आदि) का अंकों का योग 6 होता है, इसलिए वे सभी 3 से विभाज्य हैं। अब हमें यह जांचना होगा कि इनमें से कौन सी संख्या 2 से भी विभाज्य है (अर्थात, एक सम अंक पर समाप्त होती है):

• 123 (3 पर समाप्त होती है, 2 से विभाज्य नहीं है)
• 132 (2 पर समाप्त होती है, 2 से विभाज्य है)
• 213 (3 पर समाप्त होती है, 2 से विभाज्य नहीं है)
• 231 (1 पर समाप्त होती है, 2 से विभाज्य नहीं है)
• 312 (2 पर समाप्त होती है, 2 से विभाज्य है)
• 321 (1 पर समाप्त होती है, 2 से विभाज्य नहीं है) दोनों कथनों को संतुष्ट करने वाली संख्याएँ 132 और 312 हैं। चूंकि अभी भी दो संभावित संख्याएँ हैं, इसलिए दोनों कथनों को एक साथ उपयोग करने पर भी, हम संख्या को विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं कर सकते हैं।

निष्कर्ष: दोनों कथनों को एक साथ उपयोग करने पर भी प्रश्न का उत्तर नहीं दिया जा सकता है। इसलिए, विकल्प D सही है।