एक पार्टी में, 75 व्यक्तियों ने चाय ली, 60 व्यक्तियों ने कॉफी ली और 15 व्यक्तियों ने चाय और कॉफी दोनों लीं। दूध लेने वाला कोई भी व्यक्ति चाय नहीं लेता है। प्रत्येक व्यक्ति कम से कम एक पेय लेता है। प्रश्न: पार्टी में कितने व्यक्ति उपस्थित थे? कथन- 1: 50 व्यक्तियों ने दूध लिया। कथन- 2: पार्टी में उपस्थित व्यक्तियों की संख्या उन व्यक्तियों की संख्या का पाँच गुना है जिन्होंने केवल दूध लिया। उपरोक्त प्रश्न और कथनों के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

यहां एक चरण-दर-चरण विश्लेषण दिया गया है:

1. दी गई जानकारी का विश्लेषण करें:

   • चाय (T) = 75 व्यक्ति
   • कॉफी (C) = 60 व्यक्ति
   • चाय और कॉफी दोनों (T और C) = 15 व्यक्ति
   • दूध (M) लेने वाला कोई भी व्यक्ति चाय नहीं लेता है। इसका मतलब है कि दूध लेने वाले व्यक्तियों का समूह और चाय लेने वाले व्यक्तियों का समूह असंयुक्त हैं: N(M और T) = 0।
   • प्रत्येक व्यक्ति कम से कम एक पेय लेता है। इसका मतलब है कि व्यक्तियों की कुल संख्या (P) N(T U C U M) है।

2. P के लिए एक सामान्य सूत्र व्युत्पन्न करें: तीन समुच्चयों के लिए समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत का उपयोग करके: P = N(T U C U M) = N(T) + N(C) + N(M) - N(T और C) - N(T और M) - N(C और M) + N(T और C और M)

   ज्ञात मानों और शर्तों को प्रतिस्थापित करें:

   • N(T) = 75
   • N(C) = 60
   • N(T और C) = 15
   • N(T और M) = 0 (दिया गया है)
   • चूंकि N(T और M) = 0 है, इसलिए यह अनुसरण करता है कि N(T और C और M) भी 0 होना चाहिए।

   तो, सूत्र सरल हो जाता है: P = 75 + 60 + N(M) - 15 - 0 - N(C और M) + 0 P = 120 + N(M) - N(C और M)

   आइए N(M_only) को उन लोगों की संख्या के रूप में भी परिभाषित करें जिन्होंने केवल दूध लिया। चूंकि दूध लेने वाला कोई भी व्यक्ति चाय नहीं लेता है, दूध पीने वाले या तो केवल दूध लेते थे या दूध और कॉफी लेते थे। तो, N(M) = N(M_only) + N(C और M)। P के सूत्र में N(M) को प्रतिस्थापित करें: P = 120 + (N(M_only) + N(C और M)) - N(C और M) P = 120 + N(M_only)

   यह एक महत्वपूर्ण सरलीकृत सूत्र है: पार्टी में व्यक्तियों की कुल संख्या 120 (जिन्होंने चाय या कॉफी या दोनों लीं) है, जिसमें वे भी शामिल हैं जिन्होंने केवल दूध लिया। P ज्ञात करने के लिए, हमें N(M_only) ज्ञात करने की आवश्यकता है।

3. कथन 1 का मूल्यांकन करें: "50 व्यक्तियों ने दूध लिया।" इसका मतलब है N(M) = 50। सूत्र P = 120 + N(M) - N(C और M) का उपयोग करके: P = 120 + 50 - N(C और M) P = 170 - N(C और M)

   अब हमें N(C और M) (कॉफी और दूध लेने वाले व्यक्तियों की संख्या) निर्धारित करने की आवश्यकता है।

   • कॉफी लेने वाले व्यक्तियों की कुल संख्या 60 है।
   • चाय और कॉफी दोनों लेने वाले व्यक्तियों की संख्या 15 है।
   • तो, केवल कॉफी लेने वाले व्यक्तियों की संख्या (चाय नहीं) 60 - 15 = 45 है।
   • चूंकि "दूध लेने वाला कोई भी व्यक्ति चाय नहीं लेता है", कॉफी और दूध लेने वाले व्यक्ति (N(C और M)) चाय और कॉफी लेने वाले 15 व्यक्तियों में से नहीं हो सकते। उन्हें उन 45 व्यक्तियों में से होना चाहिए जिन्होंने केवल कॉफी ली।
   • इसलिए, N(C और M) 0 (किसी ने कॉफी और दूध दोनों नहीं लीं) से लेकर 45 (केवल कॉफी लेने वाले सभी व्यक्तियों ने दूध भी लिया) तक कोई भी पूर्णांक हो सकता है।
   • चूंकि N(C और M) विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं है, P विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं है।
   • कथन 1 अकेले पर्याप्त नहीं है।

4. कथन 2 का मूल्यांकन करें: "पार्टी में उपस्थित व्यक्तियों की संख्या उन व्यक्तियों की संख्या का पाँच गुना है जिन्होंने केवल दूध लिया।" इसका मतलब है P = 5 * N(M_only)। हमारे सरलीकृत सूत्र P = 120 + N(M_only) का उपयोग करके: 5 * N(M_only) = 120 + N(M_only) 4 * N(M_only) = 120 N(M_only) = 30

   अब जब N(M_only) विशिष्ट रूप से निर्धारित हो गया है, तो हम P ज्ञात कर सकते हैं: P = 120 + 30 = 150। (वैकल्पिक रूप से, P = 5 * 30 = 150)।

   • कथन 2 अकेले पर्याप्त है।

5. निष्कर्ष: कथन 1 अकेले पर्याप्त नहीं है, लेकिन कथन 2 अकेले पर्याप्त है। यह विकल्प A से मेल खाता है।

अंतिम उत्तर A है।