अभाज्य संख्या p और संयुक्त संख्या c के संबंध में निम्नलिखित पर विचार कीजिए। I. p + c ÷ (p - c) सम हो सकता है। II. 2p + c विषम हो सकता है। III. pc विषम हो सकता है। उपरोक्त कथनों में से कौन-सा/कौन-से कथन सही है/हैं?

यह निर्धारित करने के लिए कि तीनों कथन सही क्यों हैं, हम प्रत्येक का परीक्षण अभाज्य संख्याओं (p) और संयुक्त संख्याओं (c) के सरल उदाहरणों के साथ करते हैं।

कथन 1: p + c को p - c से विभाजित करने पर सम संख्या प्राप्त हो सकती है। यदि हम p = 13 और c = 9 चुनते हैं, तो p + c, 22 है और p - c, 4 है। यह एक पूर्णांक परिणाम नहीं देता है। हालाँकि, यदि हम p = 17 और c = 15 चुनते हैं, तो p + c, 32 है और p - c, 2 है। 32 को 2 से विभाजित करने पर 16 प्राप्त होता है, जो एक सम संख्या है। अतः कथन 1 सही है।

कथन 2: 2p + c विषम हो सकता है। 2p पद हमेशा सम होता है क्योंकि 2 से गुणा करने पर कोई भी संख्या सम हो जाती है। योग को विषम बनाने के लिए, c एक विषम संयुक्त संख्या होनी चाहिए। यदि हम p = 3 और c = 9 चुनते हैं, तो 2(3) + 9, 15 के बराबर होता है, जो विषम है। अतः कथन 2 सही है।

कथन 3: pc विषम हो सकता है। दो संख्याओं का गुणनफल केवल तभी विषम होता है जब दोनों संख्याएँ विषम हों। यदि हम एक विषम अभाज्य संख्या जैसे p = 5 और एक विषम संयुक्त संख्या जैसे c = 9 चुनते हैं, तो उनका गुणनफल 45 है, जो विषम है। अतः कथन 3 सही है।

चूंकि तीनों कथन विशिष्ट परिस्थितियों में सत्य हो सकते हैं, इसलिए सही उत्तर D (1, 2 और 3) है।