7 सेमी × 5 सेमी × 3 सेमी विमाओं वाले एक घनाभ को क्रमशः 7 सेमी × 5 सेमी, 5 सेमी × 3 सेमी, 7 सेमी × 3 सेमी विमाओं वाले विपरीत फलकों के प्रत्येक युग्म पर लाल, हरा और नीला रंग रंगा जाता है। फिर घनाभ को काटकर 1 सेमी भुजा की विभिन्न छोटी घनों में अलग किया जाता है। निम्नलिखित कथनों में से कौन सा/से सही है/हैं? 1. ऐसे ठीक 15 छोटे घन हैं जिन पर किसी भी फलक पर कोई रंग नहीं है। 2. ऐसे ठीक 6 छोटे घन हैं जिनके ठीक दो फलकों पर रंग है, एक पर नीला और दूसरे पर हरा। नीचे दिए गए कूट का उपयोग करके सही उत्तर चुनिए:

घनाभ की विमाएं 7 सेमी x 5 सेमी x 3 सेमी हैं। इसे 1 सेमी x 1 सेमी x 1 सेमी के घनों में काटा जाता है। छोटे घनों की कुल संख्या = 7 * 5 * 3 = 105।

रंगने की योजना:

1. 7 सेमी x 5 सेमी के फलक (ऊपर और नीचे) लाल रंग से रंगे गए हैं।
2. 5 सेमी x 3 सेमी के फलक (बाएं और दाएं किनारे) हरे रंग से रंगे गए हैं।
3. 7 सेमी x 3 सेमी के फलक (सामने और पीछे) नीले रंग से रंगे गए हैं।

आइए प्रत्येक कथन का विश्लेषण करें:

कथन 1: "ऐसे ठीक 15 छोटे घन हैं जिन पर किसी भी फलक पर कोई रंग नहीं है।" बिना रंगे हुए घन आंतरिक घन होते हैं, जो किसी भी सतह के संपर्क में नहीं आते हैं। इन्हें ज्ञात करने के लिए, हम प्रभावी रूप से प्रत्येक तरफ (लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई) से एक परत घनों को हटा देते हैं। बिना रंगे घनों की संख्या = (लंबाई - 2) * (चौड़ाई - 2) * (ऊंचाई - 2) = (7 - 2) * (5 - 2) * (3 - 2) = 5 * 3 * 1 = 15 घन। अतः, कथन 1 सही है।

कथन 2: "ऐसे ठीक 6 छोटे घन हैं जिनके ठीक दो फलकों पर रंग है, एक पर नीला और दूसरे पर हरा।" ठीक दो फलकों पर रंगे हुए घन घनाभ के किनारों पर स्थित होते हैं, जिसमें कोने वाले घन शामिल नहीं होते हैं। हमें नीले और हरे रंग से रंगे हुए घन ज्ञात करने हैं। नीले फलक 7 सेमी x 3 सेमी के फलक (सामने और पीछे) हैं। हरे फलक 5 सेमी x 3 सेमी के फलक (बाएं और दाएं किनारे) हैं। जहां नीला फलक हरे फलक से मिलता है, वे घनाभ के ऊर्ध्वाधर किनारे होते हैं। इन किनारों की लंबाई 3 सेमी होती है। घनाभ में ऐसे 4 ऊर्ध्वाधर किनारे होते हैं। 'n' सेमी लंबाई वाले किनारे के लिए, ठीक दो फलकों पर रंगे हुए घनों की संख्या (इसके सिरों पर दो कोने वाले घनों को छोड़कर) (n - 2) होती है। इस मामले में, इन किनारों के लिए, n = 3 सेमी है। ऐसे प्रत्येक किनारे पर नीले और हरे रंग से रंगे हुए घनों की संख्या = (3 - 2) = 1 घन। चूंकि ऐसे 4 किनारे हैं, इसलिए ठीक दो फलकों (एक नीला, एक हरा) पर रंगे हुए घनों की कुल संख्या = 4 किनारे * 1 घन/किनारा = 4 घन। कथन में कहा गया है कि ऐसे ठीक 6 घन हैं। हमारी गणना 4 दिखाती है। अतः, कथन 2 गलत है।

विश्लेषण के आधार पर, केवल कथन 1 सही है।

अंतिम उत्तर A है।