एक विद्यालय के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षणिक प्रदर्शन के लिए सात नकद पुरस्कार देने हेतु रु. 700 की राशि का उपयोग किया जाना है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने पूर्ववर्ती पुरस्कार से रु. 20 कम है, तो पुरस्कार का न्यूनतम मूल्य क्या है?

यह एक समांतर श्रेणी (Arithmetic Progression) से संबंधित प्रश्न है। दिया गया है: कुल राशि (S_n) = रु. 700 पुरस्कारों की संख्या (n) = 7 सार्व अंतर (d) = -रु. 20 (क्योंकि प्रत्येक पुरस्कार अपने पूर्ववर्ती पुरस्कार से रु. 20 कम है)

हमें पुरस्कार का न्यूनतम मूल्य ज्ञात करना है, जो कि 7वाँ पुरस्कार (a_7) है।

चरण 1: समांतर श्रेणी के योग सूत्र का उपयोग करके पहला पुरस्कार (a_1) ज्ञात करें। योग सूत्र है: S_n = n/2 * [2a_1 + (n-1)d] दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: 700 = 7/2 * [2a_1 + (7-1)(-20)] 700 = 7/2 * [2a_1 + 6*(-20)] 700 = 7/2 * [2a_1 - 120]

दोनों पक्षों को 2/7 से गुणा करें: 700 * (2/7) = 2a_1 - 120 200 = 2a_1 - 120 2a_1 = 200 + 120 2a_1 = 320 a_1 = 160

अतः, पहला पुरस्कार रु. 160 है।

चरण 2: पुरस्कार का न्यूनतम मूल्य (a_7) ज्ञात करें। समांतर श्रेणी के nवें पद का सूत्र है: a_n = a_1 + (n-1)d 7वें पुरस्कार (n=7) के लिए: a_7 = a_1 + (7-1)d a_7 = 160 + 6*(-20) a_7 = 160 - 120 a_7 = 40

पुरस्कार का न्यूनतम मूल्य रु. 40 है।

विकल्पों का विश्लेषण: A) रु. 30: गलत। B) रु. 40: सही, जैसा कि गणना की गई है। C) रु. 60: गलत। D) रु. 80: गलत।

अंतिम उत्तर B है।