700 से 1000 तक की सभी संख्याएँ लिखते समय, ऐसी कितनी संख्याएँ आती हैं जिनमें सैकड़े के स्थान का अंक, दहाई के स्थान के अंक से बड़ा हो, और दहाई के स्थान का अंक, इकाई के स्थान के अंक से बड़ा हो?

700 से 1000 तक की उन पूर्णांकों की संख्या ज्ञात करने के लिए जहाँ सैकड़े का अंक (H), दहाई के अंक (T) से बड़ा है, और दहाई का अंक, इकाई के अंक (U) से बड़ा है, हम H के संभावित मानों का विश्लेषण करते हैं। शर्त है H > T > U। 1. 700 से 799 तक की संख्याओं के लिए (H=7): शर्त 7 > T > U हो जाती है। T को {1, 2, 3, 4, 5, 6} से चुना जाना चाहिए। U को {0, 1, ..., T-1} से चुना जाना चाहिए। यह {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} समुच्चय से 2 भिन्न अंक चुनने और उन्हें घटते क्रम में व्यवस्थित करने के समतुल्य है (बड़ा अंक T बन जाता है, छोटा अंक U बन जाता है)। इसे करने के तरीकों की संख्या 7C2 = (7 * 6) / 2 = 21 है। 2. 800 से 899 तक की संख्याओं के लिए (H=8): शर्त 8 > T > U हो जाती है। T को {1, 2, ..., 7} से चुना जाना चाहिए। U को {0, 1, ..., T-1} से चुना जाना चाहिए। यह {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} समुच्चय से 2 भिन्न अंक चुनने के समतुल्य है। इसे करने के तरीकों की संख्या 8C2 = (8 * 7) / 2 = 28 है। 3. 900 से 999 तक की संख्याओं के लिए (H=9): शर्त 9 > T > U हो जाती है। T को {1, 2, ..., 8} से चुना जाना चाहिए। U को {0, 1, ..., T-1} से चुना जाना चाहिए। यह {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} समुच्चय से 2 भिन्न अंक चुनने के समतुल्य है। इसे करने के तरीकों की संख्या 9C2 = (9 * 8) / 2 = 36 है। 4. संख्या 1000 के लिए: अंक H=1, T=0, U=0 हैं। शर्त 1 > 0 > 0 असत्य है क्योंकि 0, 0 से बड़ा नहीं है। अतः, 1000 शर्त को संतुष्ट नहीं करता है। शर्त को संतुष्ट करने वाली कुल संख्याएँ = 21 (H=7 के लिए) + 28 (H=8 के लिए) + 36 (H=9 के लिए) = 85। इसलिए, सही उत्तर C) 85 है।