एक ठोस घन को पीला, नीला और काला रंग इस प्रकार रंगा गया है कि विपरीत फलक समान रंग के हैं। घन को दो विभिन्न आकारों के 36 घनों में काटा जाता है, जिसमें 32 घन छोटे और अन्य चार घन बड़े हैं। बड़े घनों में से किसी भी फलक पर नीला रंग नहीं है। कितने घनों पर केवल एक फलक रंगा हुआ है?

समस्या में एक ठोस घन का वर्णन किया गया है जिसे तीन रंगों (पीला, नीला, काला) से रंगा गया है, इस प्रकार कि विपरीत फलक समान रंग के हैं। इसका अर्थ है कि दो पीले फलक, दो नीले फलक और दो काले फलक हैं। मान लीजिए कि ऊपरी और निचले फलक नीले हैं, सामने और पीछे के फलक पीले हैं, और बाएँ और दाएँ के फलक काले हैं।

घन को 36 छोटे घनों में काटा जाता है: 32 छोटे और 4 बड़े। महत्वपूर्ण शर्त है: "बड़े घनों में से किसी भी फलक पर नीला रंग नहीं है।"

आइए मूल घन की संरचना और छोटे घनों के आकारों का अनुमान लगाएं:

1. घन के आकार और कुल आयतन: मान लीजिए छोटे घन 1x1x1 इकाई के हैं। मान लीजिए बड़े घन BxB xB इकाई के हैं। यदि हम मानते हैं कि बड़े घन 2x2x2 इकाई के हैं, तो:

   • 32 छोटे घनों का आयतन = 32 * (1^3) = 32 इकाई।
   • 4 बड़े घनों का आयतन = 4 * (2^3) = 4 * 8 = 32 इकाई।
   • कुल आयतन = 32 + 32 = 64 इकाई।
   • यदि कुल आयतन 64 इकाई है, तो मूल ठोस घन 4x4x4 घन होना चाहिए (क्योंकि 4x4x4 = 64)। यह व्याख्या सुसंगत है और ऐसे प्रश्नों में आमतौर पर उपयोग की जाती है।

2. बड़े घनों का स्थान: मूल घन 1x1x1 इकाई कोशिकाओं की 4x4x4 व्यवस्था है।

   • हमने माना है कि नीले फलक ऊपरी (Z=4) और निचले (Z=1) परतों पर हैं।
   • चूंकि किसी भी बड़े घन पर नीले फलक नहीं हैं, वे ऊपरी या निचले परतों में नहीं हो सकते। वे मध्य परतों (Z=2 और Z=3) के भीतर ही होने चाहिए।
   • 4x4x4 घन का मध्य भाग दो परतों से बना है, प्रत्येक 4x4 इकाई की है, जिससे कुल 4x4x2 = 32 इकाई कोशिकाएँ बनती हैं।
   • चूंकि 4 बड़े घन (प्रत्येक 2x2x2 = 8 इकाई कोशिकाएँ) 4 * 8 = 32 इकाई कोशिकाओं पर कब्जा करते हैं, इसका मतलब है कि पूरा मध्य भाग (परतें Z=2 और Z=3) इन 4 बड़े घनों द्वारा भरा गया है।
   • शेष 32 छोटे घन (1x1x1) इसलिए ऊपरी परत (Z=4, 16 घन) और निचली परत (Z=1, 16 घन) पर होने चाहिए। यह 32 छोटे घनों के समस्या कथन से मेल खाता है।

3. केवल एक फलक रंगे हुए घनों की गणना:

   • छोटे घन (32 घन): ये ऊपरी (Z=4) और निचली (Z=1) परतों में स्थित हैं। प्रत्येक परत छोटे घनों का 4x4 ग्रिड है।

     • एक घन के 4x4 फलक के लिए, केवल एक फलक रंगे हुए घन आंतरिक घन होते हैं, जो किनारों को नहीं छूते हैं। ऐसे घनों की संख्या (भुजा_लंबाई - 2)^2 होती है।
     • ऊपरी परत (4x4) के लिए, 1-फलक रंगे हुए घनों की संख्या = (4-2)^2 = 2^2 = 4 घन। इन 4 घनों पर केवल उनका ऊपरी फलक नीला रंगा हुआ है।
     • निचली परत (4x4) के लिए, 1-फलक रंगे हुए घनों की संख्या = (4-2)^2 = 2^2 = 4 घन। इन 4 घनों पर केवल उनका निचला फलक नीला रंगा हुआ है।
     • कुल छोटे घन जिन पर एक फलक रंगा हुआ है = 4 + 4 = 8 घन।

   • बड़े घन (4 घन): ये मध्य भाग (Z=2 और Z=3) में स्थित हैं।

     • जैसा कि स्थापित किया गया है, उनके ऊपरी (Z=3) और निचले (Z=2) फलक आंतरिक हैं और नीले रंग से रंगे नहीं हैं।
     • ये 4 बड़े घन 4x4 मध्य भाग के भीतर 2x2 व्यवस्था बनाते हैं। प्रत्येक बड़ा घन प्रभावी रूप से इस 2x2 व्यवस्था के "कोने" पर है।
     • एक बड़े घन पर विचार करें, उदाहरण के लिए, मध्य भाग की सामने-बाएँ स्थिति में। इसका सामने का फलक मूल घन के सामने (पीले) फलक के संपर्क में होगा, और इसका बायाँ फलक मूल घन के बाएँ (काले) फलक के संपर्क में होगा। अन्य चार फलक (ऊपर, नीचे, पीछे, दाएँ) बड़े घन के आंतरिक हैं या अन्य बड़े घनों को छूते हैं, और इसलिए रंगे नहीं हैं।
     • इसलिए, प्रत्येक 4 बड़े घनों में ठीक दो फलक रंगे हुए हैं (एक पीला, एक काला)।
     • किसी भी बड़े घन पर केवल एक फलक रंगा हुआ नहीं है।

4. कुल: केवल एक फलक रंगे हुए घनों की कुल संख्या 8 (छोटे घनों से) + 0 (बड़े घनों से) = 8 है।

अंतिम उत्तर C है।

अंतिम उत्तर C