एक विद्यालय में प्रत्येक छात्र को एक अद्वितीय पहचान संख्या सौंपी जाती है। कोई छात्र फुटबॉल खिलाड़ी है यदि और केवल यदि पहचान संख्या 4 से विभाज्य है, जबकि कोई छात्र क्रिकेटर है यदि और केवल यदि पहचान संख्या 6 से विभाज्य है। यदि 1 से 100 तक की प्रत्येक संख्या एक छात्र को सौंपी जाती है, तो उनमें से कितने क्रिकेट और फुटबॉल दोनों खेलते हैं?

कोई छात्र क्रिकेट और फुटबॉल दोनों खेलता है यदि उसकी पहचान संख्या 4 और 6 दोनों से विभाज्य है।

किसी संख्या के 4 और 6 दोनों से विभाज्य होने के लिए, उसे उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से विभाज्य होना चाहिए। LCM(4, 6): 4 का अभाज्य गुणनखंड = 2^2 6 का अभाज्य गुणनखंड = 2 x 3 LCM(4, 6) = 2^2 x 3 = 4 x 3 = 12.

अतः, हमें यह ज्ञात करना है कि 1 से 100 के बीच कितनी संख्याएँ 12 से विभाज्य हैं। ये संख्याएँ हैं: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96।

इनकी गणना करने के लिए, हम 100 को 12 से विभाजित कर सकते हैं: 100 / 12 = 8 शेष 4। परिणाम का पूर्णांक भाग, 8, 100 तक 12 के गुणजों की संख्या देता है।

इसलिए, 8 छात्र ऐसे हैं जो क्रिकेट और फुटबॉल दोनों खेलते हैं।

विकल्पों का विश्लेषण: A) 4: गलत। यह तब होता यदि संख्या 24 से विभाज्य होती (100/24 = 4)। B) 8: सही। 1 से 100 के बीच 8 संख्याएँ हैं जो 12 के गुणज हैं। C) 10: गलत। यह तब होता यदि संख्या 10 से विभाज्य होती (100/10 = 10)। D) 12: गलत। यह LCM है, गणना नहीं।

अंतिम उत्तर B है।