नीचे दिए गए दो कथनों और चार निष्कर्षों पर विचार कीजिए। आपको कथनों को सत्य मानना है, भले ही वे सामान्यतः ज्ञात तथ्यों से भिन्न प्रतीत हों। सभी निष्कर्षों को पढ़िए और फिर निर्णय लीजिए कि दिए गए निष्कर्षों में से कौन सा/कौन से निष्कर्ष कथनों से तार्किक रूप से अनुसरण करता/करते हैं, सामान्यतः ज्ञात तथ्यों की उपेक्षा करते हुए। कथन - 1: कुछ हरे, नीले हैं। कथन - 2: कुछ नीले, काले हैं। निष्कर्ष - 1: कुछ हरे, काले हैं। निष्कर्ष - 2: कोई भी हरा, काला नहीं है। निष्कर्ष - 3: सभी हरे, काले हैं। निष्कर्ष - 4: सभी काले, हरे हैं। निम्नलिखित में से कौन सा एक सही है?

यह समस्या न्यायवाक्य (syllogism) का एक उत्कृष्ट उदाहरण है। किसी निष्कर्ष के तार्किक रूप से अनुसरण करने के लिए, यह उन सभी संभावित परिदृश्यों में सत्य होना चाहिए जहाँ कथन सत्य हैं। यदि एक भी परिदृश्य मौजूद है जहाँ कथन सत्य हैं लेकिन निष्कर्ष असत्य है, तो निष्कर्ष तार्किक रूप से अनुसरण नहीं करता है।

आइए कथनों और निष्कर्षों का विश्लेषण करें:

कथन:

1. कुछ हरे, नीले हैं। (इसका अर्थ है कि हरे और नीले के बीच एक अतिव्याप्ति (overlap) है, लेकिन सभी हरे नीले नहीं हैं, और सभी नीले हरे नहीं हैं।)
2. कुछ नीले, काले हैं। (इसका अर्थ है कि नीले और काले के बीच एक अतिव्याप्ति है, लेकिन सभी नीले काले नहीं हैं, और सभी काले नीले नहीं हैं।)

अब हम प्रत्येक निष्कर्ष का परीक्षण करते हैं:

निष्कर्ष 1: कुछ हरे, काले हैं।

• क्या यह सत्य हो सकता है? हाँ, यदि हरे, नीले और काले के समूह किसी बिंदु पर अतिव्याप्त होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि कोई विशिष्ट वस्तु हरी, नीली और काली हो।
• क्या यह सत्य होना चाहिए? नहीं। एक परिदृश्य पर विचार करें: हरे = {सेब, नाशपाती}, नीले = {सेब, केला}, काले = {केला, चेरी}। कथन 1 (कुछ हरे, नीले हैं): सेब सामान्य है। (सत्य) कथन 2 (कुछ नीले, काले हैं): केला सामान्य है। (सत्य) निष्कर्ष 1 (कुछ हरे, काले हैं): {सेब, नाशपाती} और {केला, चेरी} के बीच कोई सामान्य तत्व नहीं है। (असत्य) चूंकि निष्कर्ष 1 असत्य हो सकता है जबकि कथन सत्य हैं, यह तार्किक रूप से अनुसरण नहीं करता है।

निष्कर्ष 2: कोई भी हरा, काला नहीं है।

• क्या यह सत्य हो सकता है? हाँ, जैसा कि उपरोक्त परिदृश्य में दिखाया गया है (हरे = {सेब, नाशपाती}, काले = {केला, चेरी})।
• क्या यह सत्य होना चाहिए? नहीं। एक ऐसे परिदृश्य पर विचार करें जहाँ हरे, नीले और काले सभी एक सामान्य तत्व साझा करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि कोई विशिष्ट वस्तु हरी, नीली और काली हो। इस मामले में, "कुछ हरे, काले हैं" सत्य होगा, जिससे "कोई भी हरा, काला नहीं है" असत्य हो जाएगा। चूंकि निष्कर्ष 2 असत्य हो सकता है जबकि कथन सत्य हैं, यह तार्किक रूप से अनुसरण नहीं करता है।

निष्कर्ष 3: सभी हरे, काले हैं।

• यह एक बहुत मजबूत कथन है। "कुछ" संबंधों से, हम "सभी" संबंध का निष्कर्ष नहीं निकाल सकते जब तक कि स्पष्ट रूप से न कहा गया हो या निहित न हो। यह स्पष्ट रूप से आवश्यक रूप से सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि कोई हरी वस्तु है जो काली नहीं है। चूंकि निष्कर्ष 3 असत्य हो सकता है, यह तार्किक रूप से अनुसरण नहीं करता है।

निष्कर्ष 4: सभी काले, हरे हैं।

• निष्कर्ष 3 के समान, यह एक मजबूत "सभी" कथन है जिसे "कुछ" कथनों से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। यह स्पष्ट रूप से आवश्यक रूप से सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि कोई काली वस्तु है जो हरी नहीं है। चूंकि निष्कर्ष 4 असत्य हो सकता है, यह तार्किक रूप से अनुसरण नहीं करता है।

चूंकि कोई भी निष्कर्ष दिए गए कथनों से आवश्यक रूप से अनुसरण नहीं करता है (अर्थात, प्रत्येक निष्कर्ष के लिए, हम एक ऐसा परिदृश्य बना सकते हैं जहाँ कथन सत्य हैं लेकिन निष्कर्ष असत्य है), सही उत्तर यह है कि न तो निष्कर्ष 1 और न ही 2 और न ही 3 और न ही 4 अनुसरण करता है।

अंतिम उत्तर D है।