2⁴⁰, 3²¹, 4¹⁸ और 8¹² में से कौन सी संख्या सबसे छोटी है?

सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए, हम तुलना को आसान बनाने के लिए उन्हें एक सामान्य आधार या एक सामान्य घातांक में परिवर्तित करते हैं।

1. आधार 2 वाली संख्याओं को परिवर्तित करें:

   • 2^40
   • 4^18 = (2^2)^18 = 2^(2*18) = 2^36
   • 8^12 = (2^3)^12 = 2^(3*12) = 2^36

2. अब संख्याएँ हैं: 2^40, 3^21, 2^36, 2^36।

3. 2^40, 2^36, और 2^36 की तुलना करने पर, यह स्पष्ट है कि इन तीनों में 2^36 सबसे छोटी है।

4. तो, तुलना 3^21 और 2^36 के बीच छोटी संख्या ज्ञात करने तक सीमित हो जाती है। 3^21 और 2^36 की तुलना करने के लिए, हम उनके घातांकों (21 और 36) के लिए एक सामान्य गुणनखंड ज्ञात कर सकते हैं। 21 और 36 का महत्तम समापवर्तक (GCD) 3 है।

   • 3^21 = (3^7)^3
   • 2^36 = (2^12)^3

5. अब हम आधारों की तुलना करते हैं: 3^7 और 2^12।

   • 3^7 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 9 * 9 * 9 * 3 = 81 * 27 = 2187
   • 2^12 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 4096 (क्योंकि 2^10 = 1024, 2^12 = 1024 * 4 = 4096)

6. चूंकि 2187 < 4096, इसका मतलब है कि 3^7 < 2^12। इसलिए, (3^7)^3 < (2^12)^3, जिसका अर्थ है 3^21 < 2^36।

7. चूंकि 3^21, 2^36 से छोटी है, और 2^36 आधार-2 वाली संख्याओं में सबसे छोटी थी, इसलिए 3^21 समग्र रूप से सबसे छोटी संख्या है।

अंतिम उत्तर B) 3^21 है।