एक व्यक्ति X, छह बच्चों A, B, C, D, E, और F के बीच कुछ पेन वितरित करना चाहता है। मान लीजिए कि A को B द्वारा प्राप्त पेनों की संख्या का दोगुना, C द्वारा प्राप्त पेनों की संख्या का तीन गुना, D द्वारा प्राप्त पेनों की संख्या का चार गुना, E द्वारा प्राप्त पेनों की संख्या का पाँच गुना और F द्वारा प्राप्त पेनों की संख्या का छह गुना प्राप्त होता है। X को न्यूनतम कितने पेन खरीदने चाहिए ताकि प्रत्येक को प्राप्त पेनों की संख्या एक सम संख्या हो?

मान लीजिए कि बच्चों A, B, C, D, E, और F को प्राप्त पेनों की संख्या क्रमशः a, b, c, d, e, f है।

दी गई शर्तों से: a = 2b => b = a/2 a = 3c => c = a/3 a = 4d => d = a/4 a = 5e => e = a/5 a = 6f => f = a/6

a, b, c, d, e, f पूर्ण संख्याएँ होने के लिए, 'a' 2, 3, 4, 5, और 6 का गुणज होना चाहिए। (2, 3, 4, 5, 6) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 60 है। इसलिए, 'a' 60 का गुणज होना चाहिए। मान लीजिए a = 60k, जहाँ k एक धनात्मक पूर्णांक है।

अब, प्रत्येक बच्चे के लिए पेनों की संख्या k के पदों में ज्ञात करते हैं: a = 60k b = 60k / 2 = 30k c = 60k / 3 = 20k d = 60k / 4 = 15k e = 60k / 5 = 12k f = 60k / 6 = 10k

X को खरीदने वाले पेनों की कुल संख्या सभी बच्चों के लिए पेनों का योग है: कुल = a + b + c + d + e + f कुल = 60k + 30k + 20k + 15k + 12k + 10k कुल = 147k

अब, अतिरिक्त शर्त पर विचार करें: "प्रत्येक को प्राप्त पेनों की संख्या एक सम संख्या हो"। आइए प्रत्येक बच्चे के पेनों की जाँच करें: a = 60k (हमेशा सम, क्योंकि 60 सम है) b = 30k (हमेशा सम, क्योंकि 30 सम है) c = 20k (हमेशा सम, क्योंकि 20 सम है) d = 15k (15k को सम संख्या होने के लिए, k को एक सम संख्या होना चाहिए।) e = 12k (हमेशा सम, क्योंकि 12 सम है) f = 10k (हमेशा सम, क्योंकि 10 सम है)

महत्वपूर्ण शर्त यह है कि 'd' (15k) सम होना चाहिए। इसका तात्पर्य है कि 'k' एक सम संख्या होनी चाहिए। पेनों की न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए, हमें k का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान चाहिए जो सम हो। k के लिए न्यूनतम सम धनात्मक पूर्णांक 2 है।

k = 2 को पेनों की कुल संख्या में प्रतिस्थापित करें: कुल = 147 * 2 = 294

k=2 के साथ प्रत्येक बच्चे के लिए पेनों की संख्या सत्यापित करते हैं: a = 60 * 2 = 120 (सम) b = 30 * 2 = 60 (सम) c = 20 * 2 = 40 (सम) d = 15 * 2 = 30 (सम) e = 12 * 2 = 24 (सम) f = 10 * 2 = 20 (सम) सभी शर्तें पूरी होती हैं।

इसलिए, X को खरीदने वाले पेनों की न्यूनतम संख्या 294 है।

विकल्पों का विश्लेषण: A) 147: यह k=1 होने पर कुल होगा। हालाँकि, यदि k=1, तो d=15, जो सम संख्या नहीं है। इसलिए, यह गलत है। B) 150: 147 का गुणज नहीं है। गलत। C) 294: यह k=2 होने पर परिकलित न्यूनतम संख्या है, जो सभी शर्तों को पूरा करती है। सही। D) 300: 147 का गुणज नहीं है। गलत।

अंतिम उत्तर C है।