तीन व्यक्ति A, B तथा C एक कतार में खड़े हैं, आवश्यक नहीं कि उसी क्रम में हों। A और B के बीच 4 व्यक्ति हैं, और B तथा C के बीच 7 व्यक्ति हैं। यदि C से आगे 11 व्यक्ति हैं और A के पीछे 13 व्यक्ति हैं, तो कतार में व्यक्तियों की न्यूनतम संख्या क्या हो सकती है?

कतार में व्यक्तियों की न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए, हमें A, B और C के सभी संभावित सापेक्ष क्रमों पर विचार करना होगा, और प्रत्येक वैध व्यवस्था के लिए कुल व्यक्तियों (N) की गणना करनी होगी।

आइए कतार के सामने से किसी व्यक्ति की स्थिति को दर्शाते हैं।

1. "C से आगे 11 व्यक्ति": इसका मतलब है कि C 11 + 1 = 12वें स्थान पर है।
2. "A के पीछे 13 व्यक्ति": यदि कतार में व्यक्तियों की कुल संख्या N है, तो A N - 13वें स्थान पर है।

अब आइए "बीच में" की शर्तों के आधार पर A, B और C की सापेक्ष स्थितियों का विश्लेषण करें:

• "A और B के बीच 4 व्यक्ति": इसका मतलब है कि A और B के बीच स्थानों की संख्या 4 है।
• "B और C के बीच 7 व्यक्ति": इसका मतलब है कि B और C के बीच स्थानों की संख्या 7 है।

हम A, B और C की वैध रैखिक व्यवस्थाओं की जांच करेंगे:

स्थिति 1: क्रम C - B - A व्यवस्था: C (7 व्यक्ति) B (4 व्यक्ति) A * C 12वें स्थान पर है। * B, C के बाद 7 व्यक्तियों के साथ है: B की स्थिति = C की स्थिति + 1 (C के लिए) + 7 = 12 + 1 + 7 = 20। * A, B के बाद 4 व्यक्तियों के साथ है: A की स्थिति = B की स्थिति + 1 (B के लिए) + 4 = 20 + 1 + 4 = 25। * हम जानते हैं कि A, N-13वें स्थान पर है। इसलिए, 25 = N - 13 => N = 38। यह व्यवस्था सभी शर्तों के अनुरूप है।

स्थिति 2: क्रम C - A - B व्यवस्था: C (x व्यक्ति) A (y व्यक्ति) B * "A और B के बीच 4 व्यक्ति" से, हम जानते हैं कि y = 4। * "B और C के बीच 7 व्यक्ति" से, हम जानते हैं कि (C और A के बीच व्यक्ति) + 1 (A के लिए) + (A और B के बीच व्यक्ति) = 7। इसलिए, x + 1 + y = 7। * y=4 को प्रतिस्थापित करने पर: x + 1 + 4 = 7 => x = 2। * व्यवस्था है C (2 व्यक्ति) A (4 व्यक्ति) B। * C 12वें स्थान पर है। * A, C के बाद 2 व्यक्तियों के साथ है: A की स्थिति = C की स्थिति + 1 (C के लिए) + 2 = 12 + 1 + 2 = 15। * B, A के बाद 4 व्यक्तियों के साथ है: B की स्थिति = A की स्थिति + 1 (A के लिए) + 4 = 15 + 1 + 4 = 20। * हम जानते हैं कि A, N-13वें स्थान पर है। इसलिए, 15 = N - 13 => N = 28। यह व्यवस्था सभी शर्तों के अनुरूप है।

स्थिति 3: क्रम B - A - C व्यवस्था: B (x व्यक्ति) A (y व्यक्ति) C * "A और B के बीच 4 व्यक्ति" से, हम जानते हैं कि x = 4। * "B और C के बीच 7 व्यक्ति" से, हम जानते हैं कि (B और A के बीच व्यक्ति) + 1 (A के लिए) + (A और C के बीच व्यक्ति) = 7। इसलिए, x + 1 + y = 7। * x=4 को प्रतिस्थापित करने पर: 4 + 1 + y = 7 => y = 2। * व्यवस्था है B (4 व्यक्ति) A (2 व्यक्ति) C। * C 12वें स्थान पर है। * A, C से पहले 2 व्यक्तियों के साथ है: A की स्थिति = C की स्थिति - 1 (C के लिए) - 2 = 12 - 1 - 2 = 9। * B, A से पहले 4 व्यक्तियों के साथ है: B की स्थिति = A की स्थिति - 1 (A के लिए) - 4 = 9 - 1 - 4 = 4। * हम जानते हैं कि A, N-13वें स्थान पर है। इसलिए, 9 = N - 13 => N = 22। यह व्यवस्था सभी शर्तों के अनुरूप है।

अन्य संभावित क्रम (A-B-C, A-C-B, B-C-A) विरोधाभास उत्पन्न करते हैं (जैसे, व्यक्तियों की ऋणात्मक संख्या, या A की स्थिति 1 से कम होना)। उदाहरण के लिए:

• A-B-C: A (4) B (7) C. यदि C 12वें स्थान पर है, तो A 12 - 1 - 7 - 1 - 4 = -1 पर होगा, जो असंभव है।
• A-C-B: A (x) C (y) B. A और B के बीच 4 व्यक्ति का मतलब है x+1+y=4. B और C के बीच 7 व्यक्ति का मतलब है y=7. तो x+1+7=4 => x=-4, असंभव।
• B-C-A: B (x) C (y) A. B और C के बीच 7 व्यक्ति का मतलब है x+1+y=7. A और B के बीच 4 व्यक्ति का मतलब है y=4. तो x+1+4=7 => x=2. इसका मतलब है B(2)C(4)A. A, N-13वें स्थान पर है. C, 12वें स्थान पर है. A, C के बाद है. तो A=12+1+4=17. N-13=17 => N=30. A और B के बीच जांचें: A, 17वें स्थान पर है, B, 12-1-2=9वें स्थान पर है. A और B के बीच व्यक्ति = 17-9-1=7. यह A और B के बीच दिए गए 4 व्यक्तियों के विपरीत है. इसलिए यह क्रम मान्य नहीं है।

N के मान्य मानों की तुलना करने पर: 38, 28, 22। कतार में व्यक्तियों की न्यूनतम संख्या 22 है।

अंतिम उत्तर A) 22 है।