आठ विद्यार्थी A, B, C, D, E, F, G और H एक वृत्ताकार मेज के चारों ओर, एक-दूसरे से समान दूरी पर, मेज के केंद्र की ओर मुख करके बैठे हैं, आवश्यक नहीं कि इसी क्रम में हों। B और D, C के न तो निकट बैठते हैं और न ही C के सम्मुख बैठते हैं। A, E और D के बीच में बैठता है, और F, B और H के बीच में बैठता है। निम्नलिखित में से कौन सा निश्चित रूप से सही है?

यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा कथन निश्चित रूप से सही है, हमें दी गई शर्तों के आधार पर सभी संभावित मान्य बैठने की व्यवस्थाएँ ज्ञात करनी होंगी और फिर प्रत्येक विकल्प की उनसे जाँच करनी होगी।

हम वृत्ताकार मेज के चारों ओर 8 स्थानों को दक्षिणावर्त दिशा में 1 से 8 तक निरूपित कर सकते हैं। हम सामान्यता को खोए बिना C की स्थिति को निश्चित कर सकते हैं, मान लीजिए स्थिति 1 पर।

शर्तें हैं:

1. B और D, C के न तो निकट बैठते हैं और न ही C के सम्मुख बैठते हैं।
   • यदि C स्थिति 1 पर है, तो B और D स्थिति 2, 8 (निकट) या 5 (सम्मुख) पर नहीं हो सकते।
   • इसलिए, B और D को {3, 4, 6, 7} स्थितियों में से होना चाहिए।
2. A, E और D के बीच में बैठता है। इसका मतलब है कि E, A, D लगातार हैं (E-A-D या D-A-E)।
3. F, B और H के बीच में बैठता है। इसका मतलब है कि B, F, H लगातार हैं (B-F-H या H-F-B)।

आइए संभावित व्यवस्थाओं का अन्वेषण करें:

व्यवस्था 1:

• मान लीजिए C स्थिति 1 पर है।
• D को स्थिति 4 पर विचार करें। शर्त 1 के अनुसार, यह अनुमत है (2, 8, या 5 नहीं)।
• शर्त 2 (E-A-D) के अनुसार, यदि D स्थिति 4 पर है, तो A स्थिति 3 पर और E स्थिति 2 पर है।
  • आंशिक व्यवस्था: C(1)-E(2)-A(3)-D(4)----
• शेष स्थितियाँ: 5, 6, 7, 8। शेष विद्यार्थी: B, F, H, G।
• शर्त 1 के अनुसार, B स्थिति 5 (C के सम्मुख) या 8 (C के निकट) पर नहीं हो सकता। इसलिए B को स्थिति 6 या 7 पर होना चाहिए।
• यदि B स्थिति 6 पर है: शर्त 3 (B-F-H) के अनुसार, F को स्थिति 7 पर और H को स्थिति 8 पर होना चाहिए।
• शेष विद्यार्थी G को स्थिति 5 पर होना चाहिए।
• इससे व्यवस्था 1 प्राप्त होती है: C(1)-E(2)-A(3)-D(4)-G(5)-B(6)-F(7)-H(8)।
• आइए इस व्यवस्था को सत्यापित करें:
  • 1. B(6) और D(4), C(1) के निकट या सम्मुख नहीं हैं। (सही)
  • 2. A(3), E(2) और D(4) के बीच में है। (सही)
  • 3. F(7), B(6) और H(8) के बीच में है। (सही)
  • व्यवस्था 1 मान्य है।

व्यवस्था 2:

• मान लीजिए C स्थिति 1 पर है।
• D को स्थिति 6 पर विचार करें। शर्त 1 के अनुसार, यह अनुमत है।
• शर्त 2 (E-A-D) के अनुसार, यदि D स्थिति 6 पर है, तो A स्थिति 5 पर और E स्थिति 4 पर है।
  • आंशिक व्यवस्था: C(1)-_-E(4)-A(5)-D(6)--
• शेष स्थितियाँ: 2, 3, 7, 8। शेष विद्यार्थी: B, F, H, G।
• शर्त 1 के अनुसार, B स्थिति 2, 8 (C के निकट) या 5 (C के सम्मुख, लेकिन 5 पर A है) पर नहीं हो सकता। इसलिए B को स्थिति 3 या 7 पर होना चाहिए।
• यदि B स्थिति 3 पर है: शर्त 3 (H-F-B) के अनुसार, F को स्थिति 2 पर और H को स्थिति 8 पर होना चाहिए।
• शेष विद्यार्थी G को स्थिति 7 पर होना चाहिए।
• इससे व्यवस्था 2 प्राप्त होती है: C(1)-F(2)-B(3)-E(4)-A(5)-D(6)-G(7)-H(8)।
• आइए इस व्यवस्था को सत्यापित करें:
  • 1. B(3) और D(6), C(1) के निकट या सम्मुख नहीं हैं। (सही)
  • 2. A(5), E(4) और D(6) के बीच में है। (सही)
  • 3. F(2), H(8) और B(3) के बीच में है। (सही)
  • व्यवस्था 2 मान्य है।

अब हम इन दो मान्य व्यवस्थाओं का उपयोग करके प्रत्येक विकल्प का मूल्यांकन करेंगे। किसी विकल्प को "निश्चित रूप से सही" होने के लिए, वह सभी संभावित मान्य व्यवस्थाओं में सत्य होना चाहिए।

A) B, A और G के बीच में बैठता है * व्यवस्था 1 (C-E-A-D-G-B-F-H) में: A स्थिति 3 पर, G स्थिति 5 पर, B स्थिति 6 पर है। B, A और G के बीच में नहीं है। (असत्य) * व्यवस्था 2 (C-F-B-E-A-D-G-H) में: A स्थिति 5 पर, G स्थिति 7 पर, B स्थिति 3 पर है। B, A और G के बीच में नहीं है। (असत्य) * चूंकि यह कथन दोनों व्यवस्थाओं में असत्य है, इसलिए यह निश्चित रूप से सही नहीं है।

B) C, G के सम्मुख बैठता है * व्यवस्था 1 (C-E-A-D-G-B-F-H) में: C स्थिति 1 पर, G स्थिति 5 पर है। वे सम्मुख हैं। (सत्य) * व्यवस्था 2 (C-F-B-E-A-D-G-H) में: C स्थिति 1 पर, G स्थिति 7 पर है। वे सम्मुख नहीं हैं (1, 5 के सम्मुख है)। (असत्य) * चूंकि यह कथन कम से कम एक व्यवस्था में असत्य है, इसलिए यह निश्चित रूप से सही नहीं है।

C) E, F के सम्मुख बैठता है * व्यवस्था 1 (C-E-A-D-G-B-F-H) में: E स्थिति 2 पर, F स्थिति 7 पर है। वे सम्मुख नहीं हैं (2, 6 के सम्मुख है)। (असत्य) * व्यवस्था 2 (C-F-B-E-A-D-G-H) में: E स्थिति 4 पर, F स्थिति 2 पर है। वे सम्मुख नहीं हैं (4, 8 के सम्मुख है)। (असत्य) * चूंकि यह कथन दोनों व्यवस्थाओं में असत्य है, इसलिए यह निश्चित रूप से सही नहीं है।

चूंकि विकल्प A, B, या C में से कोई भी निश्चित रूप से सही नहीं है, इसलिए उत्तर D होना चाहिए।

अंतिम उत्तर $\boxed{D}$ है।