किसी राज्य में तीन शहरों P, Q और R के संबंध में नीचे दिए गए प्रश्न और दो कथनों पर विचार करें: प्रश्न: शहर P, शहर Q से कितनी दूर है? कथन - 1: शहर Q, शहर R से 18 किमी दूर है। कथन - 2: शहर P, शहर R से 43 किमी दूर है। प्रश्न और कथनों के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

प्रश्न शहर P और शहर Q के बीच की दूरी (PQ) पूछता है। कथन 1: "शहर Q, शहर R से 18 किमी दूर है।" यह हमें QR = 18 किमी की दूरी बताता है। यह कथन अकेले शहर P के बारे में कोई जानकारी प्रदान नहीं करता है, इसलिए यह PQ की दूरी ज्ञात करने के लिए पर्याप्त नहीं है। कथन 2: "शहर P, शहर R से 43 किमी दूर है।" यह हमें PR = 43 किमी की दूरी बताता है। यह कथन अकेले शहर Q के बारे में कोई जानकारी प्रदान नहीं करता है, इसलिए यह PQ की दूरी ज्ञात करने के लिए पर्याप्त नहीं है। दोनों कथनों 1 और 2 को मिलाकर: हम जानते हैं कि QR = 18 किमी और PR = 43 किमी। P, Q और R की सापेक्ष स्थितियाँ निर्दिष्ट नहीं हैं (जैसे, क्या वे संरेख हैं या एक त्रिभुज बनाते हैं)। स्थिति 1: शहर संरेख हैं (एक सीधी रेखा पर स्थित हैं)। a) यदि Q, P और R के बीच है (P - Q - R): तब PR = PQ + QR 43 = PQ + 18 PQ = 43 - 18 = 25 किमी। b) यदि R, P और Q के बीच है (P - R - Q): तब PQ = PR + RQ PQ = 43 + 18 = 61 किमी। c) यदि P, Q और R के बीच है (Q - P - R): तब QR = QP + PR 18 = QP + 43 QP = 18 - 43 = -25 किमी, जो असंभव है क्योंकि दूरी ऋणात्मक नहीं हो सकती। यह व्यवस्था मान्य नहीं है। चूंकि शहरों के संरेख होने पर भी दो अलग-अलग संभावित दूरियाँ (25 किमी या 61 किमी) हैं, इसलिए एक अद्वितीय उत्तर देने के लिए जानकारी पर्याप्त नहीं है। स्थिति 2: शहर संरेख नहीं हैं (वे एक त्रिभुज PQR बनाते हैं)। एक त्रिभुज में, एक भुजा की लंबाई अन्य दो भुजाओं के निरपेक्ष अंतर से अधिक और उनके योग से कम होनी चाहिए। इसलिए, |PR - QR| < PQ < (PR + QR) |43 - 18| < PQ < (43 + 18) 25 किमी < PQ < 61 किमी। इस स्थिति में, PQ 25 किमी और 61 किमी के बीच कोई भी दूरी हो सकती है (जैसे, 30 किमी, 45 किमी, 50 किमी, आदि), जिसका अर्थ है कि अनंत संभावनाएँ हैं। चूंकि न तो कोई एक कथन और न ही दोनों कथन मिलकर PQ के लिए एक अद्वितीय दूरी प्रदान करते हैं, इसलिए प्रश्न का उत्तर देने के लिए दोनों कथन पर्याप्त नहीं हैं। अंतिम उत्तर D है।