यदि 15× 14× 13× … × 3× 2× 1 = 3^m× n है, जहाँ m और n धनात्मक पूर्णांक हैं, तो m का अधिकतम मान क्या है?

'm' का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए, हमें 15 फैक्टोरियल (15!) को विभाजित करने वाली 3 की उच्चतम घात निर्धारित करनी होगी। यह 15 × 14 × 13 × … × 3 × 2 × 1 के गुणनफल में अभाज्य गुणनखंड 3 के प्रकट होने की कुल संख्या की गणना करने के बराबर है। हम इसे 1 से 15 की सीमा के भीतर 3 के गुणजों, फिर 3^2 (9) के गुणजों, और इसी तरह गणना करके कर सकते हैं। 1. 1 से 15 तक की उन संख्याओं की गणना करें जो 3 की गुणज हैं: ये 3, 6, 9, 12, 15 हैं। ऐसी 5 संख्याएँ हैं। इनमें से प्रत्येक कम से कम एक 3 का गुणनखंड प्रदान करती है। 2. 1 से 15 तक की उन संख्याओं की गणना करें जो 3^2 (जो 9 है) की गुणज हैं: केवल 9, 9 का गुणज है। यह संख्या 3 का एक *अतिरिक्त* गुणनखंड प्रदान करती है (चूंकि 9 = 3 x 3, 3 के गुणजों पर विचार करते समय एक '3' की पहले ही गणना की जा चुकी थी)। 3. 1 से 15 तक की उन संख्याओं की गणना करें जो 3^3 (जो 27 है) की गुणज हैं: इस सीमा के भीतर 27 के कोई गुणज नहीं हैं (क्योंकि 27 > 15)। गणनाओं का योग: 3 के गुणनखंडों की कुल संख्या = (3 के गुणजों की संख्या) + (9 के गुणजों की संख्या) 3 के कुल गुणनखंड = 5 + 1 = 6। इसलिए, m का अधिकतम मान 6 है। अंतिम उत्तर B है