⅓

Question

⅓ < x < y < 2 के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा/कौन-से कथन सदैव सही है/हैं?

I. x + 1/x < y + 1/y

II. √(1+y²)/y < √(1+x²)/x

नीचे दिए गए कूट का प्रयोग कर उत्तर चुनिए।

Accepted Answer

**सही उत्तर विकल्प (B) है।** यह प्रश्न असमिकाओं (Inequalities) और फलनों (Functions) की प्रकृति पर आधारित है। आइए दोनों कथनों का गणितीय विश्लेषण करें: **कथन I का विश्लेषण: x + 1/x < y + 1/y** यदि हम फलन f(t) = t + 1/t लें, तो इसका अवकलज f′(t) = 1 - 1/t² होगा। दी गई शर्त ⅓ < t < 2 के तहत: - t ∈ (⅓, 1) के लिए f′(t) < 0 (फलन ह्रासमान / decreasing है)। - t ∈ (1, 2) के लिए f′(t) > 0 (फलन वर्धमान / increasing है)। चूंकि यह फलन पूरे अंतराल में एकसमान नहीं है, इसलिए यह कथन *सदैव* सत्य नहीं हो सकता। **उदाहरण:** यदि हम x = ½ और y = 1 लें (जहाँ ⅓ < x < y < 2 सत्य है)। x + 1/x = 0.5 + 2 = 2.5 y + 1/y = 1 + 1 = 2 यहाँ 2.5 < 2 सत्य नहीं है। अतः **कथन I गलत है।** **कथन II का विश्लेषण: √(1+y²)/y < √(1+x²)/x** दोनों पदों को वर्गमूल के अंदर सरल करने पर: √(1+t²)/t = √(1+t²/t²) = √(1/t² + 1) हमें दिया गया है कि x < y (और दोनों धनात्मक हैं)। अतः x² < y² व्युत्क्रम (Reciprocal) लेने पर चिह्न बदल जाता है: 1/x² > 1/y² दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर: 1 + 1/x² > 1 + 1/y² दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: √(1 + 1/x²) > √(1 + 1/y²) इसलिए √(1+x²)/x > √(1+y²)/y (या √(1+y²)/y < √(1+x²)/x)। यह गणितीय रूप से हर धनात्मक x < y के लिए **सदैव सत्य है।** **अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:** - **(A) और (C)** गलत हैं क्योंकि कथन I सदैव सत्य नहीं है (जैसा कि उदाहरण x=0.5, y=1$ में सिद्ध हुआ)। - **(D)** गलत है क्योंकि कथन II पूरी तरह सत्य है। **निष्कर्ष (Takeaway):** असमिकाओं से जुड़े UPSC CSAT या गणित के प्रश्नों में, यदि व्यंजक जटिल लगे, तो दी गई सीमा के भीतर सरल मान (जैसे ½ और 1) रखकर 'Hit and Trial' विधि का प्रयोग करना समय बचाता है। साथ ही, धनात्मक मानों के लिए यह मूल नियम याद रखें कि यदि x < y है, तो व्युत्क्रम करने पर 1/x > 1/y हो जाता है।

Answer

केवल I

Answer

केवल II

Answer

I और II दोनों

Answer

न तो I और न ही II

Explanation

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