किसी ठोस वस्तु पर एक काट (cut) उसे दो भागों में विभाजित कर देता है, जहाँ इस प्रकार बनने वाले नए पृष्ठ समतल हैं। वहीं दूसरी ओर, एकल काट से एक ही समय में एक से अधिक वस्तुओं को काटा जा सकता है। एक प्रयोग में, n काटों से बने हुए खंडों की कुल संख्या को xₙ द्वारा निरूपित किया जाता है। इस प्रयोग को किसी ठोस घन पर निष्पादित किया जाता है, जहाँ प्रत्येक काट के बाद खंड अचल (unmoved) रहे। इस प्रयोग में, यदि तीसरी काट के बाद, खंडें सर्वसम (identical) हैं, तो x₄ के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा संभाव्य मान नहीं है?

किसी भी त्रि-आयामी (3D) वस्तु (जैसे ठोस घन) को n समतल काटों (planar cuts) द्वारा अधिकतम भागों में विभाजित करने का एक निश्चित गणितीय सूत्र होता है, जिसे 'केक नंबर' (Cake Number) भी कहा जाता है। यह सूत्र Cₙ = (n³ + 5n + 6)/6 है।

जब हम n=4 (अर्थात 4 काट) रखते हैं: C₄ = (4³ + 5(4) + 6)/6 = (64 + 20 + 6)/6 = 90/6 = 15।

चूँकि 4 काटों के बाद किसी भी ज्यामितीय स्थिति में अधिकतम 15 खंड (pieces) ही बन सकते हैं, इसलिए x₄ का मान 16 कभी नहीं हो सकता। चूँकि प्रश्न में यही पूछा गया है कि कौन-सा मान संभव नहीं है, अतः विकल्प A (16) सही उत्तर है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं (अर्थात वे संभाव्य मान क्यों हैं): प्रश्न की शर्त है कि तीसरी काट के बाद सभी खंड सर्वसम (identical) हैं।

• विकल्प D (5): यदि पहली 3 काटें एक-दूसरे के समानांतर (parallel) हों, तो घन 4 समान स्लाइस में बँट जाएगा। यदि 4थी काट भी इन्हीं के समानांतर हो, तो कुल 4+1=5 खंड बनेंगे। (यह मान संभव है)
• विकल्प C (8): यदि पहली 3 समानांतर काटों से बने 4 स्लाइस के ठीक लंबवत (perpendicular) 4थी काट लगाई जाए, तो वह सभी 4 स्लाइस को बीच से काट देगी (4 × 2 = 8)। (यह मान भी संभव है)
• विकल्प B (12): यदि पहली 3 काटें परस्पर लंबवत (mutually perpendicular - x, y, z अक्षों पर एक-एक) हों, तो 8 सर्वसम छोटे घन बनेंगे। 4थी काट यदि किसी एक फलक के समानांतर लगाई जाए, तो वह 8 में से केवल 4 घनों को काटेगी, जिससे 8 + 4 = 12$ खंड बनेंगे। (यह मान संभव है)

निष्कर्ष / टेकअवे (Takeaway): 3D स्पेस में n समतलों (planes) द्वारा बनाए जा सकने वाले अधिकतम क्षेत्रों का सूत्र \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \binom{n}{3} होता है। CSAT के लिए याद रखें कि 3 काटों से अधिकतम 8 और 4 काटों से अधिकतम 15 टुकड़े ही बन सकते हैं!