6¹²⁹ × 7³⁰⁷ संख्या के इकाई स्थान (unit place) में क्या अंक है?

सही उत्तर: C (8)

इस प्रश्न को हल करने के लिए घातांक के 'इकाई अंक' (Unit Digit) और 'चक्रीयता' (Cyclicity) के गणितीय नियम का उपयोग किया जाता है।

चरण 1: 6^{129} का इकाई अंक ज्ञात करना नियम के अनुसार, अंक 0, 1, 5, और 6 की किसी भी धनात्मक घात (positive power) का इकाई अंक सदैव वही अंक रहता है। चूँकि 6^1 = 6, 6^2 = 36, 6^3 = 216 आदि, इसलिए 6^{129} का इकाई अंक = 6 होगा।

चरण 2: 7^{307} का इकाई अंक ज्ञात करना अंक 7 के इकाई अंकों की चक्रीयता 4 होती है, अर्थात् इसकी घातों के इकाई अंक 4 के चक्र में (7, 9, 3, 1) दोहराए जाते हैं (7^1=7, 7^2=9, 7^3=3, 7^4=1)। चक्रीयता का नियम लागू करने के लिए, घात 307 को 4 से विभाजित करें: 307 ÷ 4 = 76 (भागफल) और शेषफल (Remainder) = 3 शेषफल 3 होने का अर्थ है कि इकाई अंक चक्र का तीसरा अंक होगा। अतः 7^{307} का इकाई अंक 7^3 के इकाई अंक के समान यानी 3 होगा।

चरण 3: अंतिम गुणनफल दोनों व्यंजकों के इकाई अंकों का गुणा करने पर: 6 × 3 = 18। संख्या 18 का इकाई अंक 8 है। इसलिए सही उत्तर विकल्प C है।

अन्य विकल्प गलत क्यों हैं:

• विकल्प A (2): यह गलत है क्योंकि 6 और 3 का गुणनफल 18 होता है, जिसका इकाई अंक 8 है, न कि 2। यह एक गणनात्मक त्रुटि को दर्शाता है।
• विकल्प B (4): यह गलत है क्योंकि 7 की किसी भी घात का इकाई अंक कभी भी सम संख्या (even number) नहीं हो सकता, जिससे अंतिम इकाई गुणनफल 4 आए।
• विकल्प D (6): यह गलत है क्योंकि 6 केवल पहले पद (6^{129}) का इकाई अंक है; इसमें दूसरे पद (7^{307}) के इकाई अंक का गुणा नहीं किया गया है।

निष्कर्ष (Takeaway): सीसैट (CSAT) के लिए याद रखें: "0, 1, 5, 6 की घात में इकाई अंक नहीं बदलता है, जबकि 2, 3, 7, 8 की चक्रीयता (cyclicity) 4 की होती है।"