X और Y दो धावक हैं, जो एक ही वृत्ताकार पथ पर समान समयावधि के लिए दौड़ते हैं। वे एकसमान चाल से एक ही दिशा में एक ही समय दौड़ना आरंभ करते हैं। जब X के 7 चक्कर पूरे हो गए, तब Y के ठीक 5 चक्कर पूरे हुए। 5 चक्कर पूरे हो जाने के बाद, Y ने अपनी दिशा बदल ली और अपनी पहले से दुगुनी चाल से विपरीत दिशा में दौड़ना आरंभ कर दिया। दूसरी ओर, X ने उसी चाल से दौड़ना जारी रखा। जब X के ठीक 21 चक्कर पूरे हो गए, तब उन दोनों ने दौड़ना बंद कर दिया। X और Y दौड़ना आरंभ करने के बाद और अंततः दौड़ना बंद करने तक कितनी बार मिले?

यह प्रश्न CSAT (UPSC Prelims Paper-II) के वृत्ताकार पथ पर सापेक्ष चाल (Relative Speed on Circular Track) के सिद्धांत पर आधारित है।

सही विकल्प (A) 35 क्यों है: इसे दो चरणों में हल किया जा सकता है:

चरण 1 (एक ही दिशा में): जब X ने 7 चक्कर पूरे किए, तब Y ने 5 चक्कर पूरे किए। अतः उनकी चाल का अनुपात V_x : V_y = 7 : 5 है। एक ही दिशा में दौड़ते समय सापेक्ष चाल = 7 - 5 = 2 चक्कर। इसका अर्थ है कि पहले चरण के दौरान वे 2 बार मिलेंगे (पहली बार जब X, Y से 1 चक्कर आगे होता है, और दूसरी बार 7वें चक्कर के ठीक अंत में)।

चरण 2 (विपरीत दिशा में): अब Y अपनी दिशा बदलता है और चाल दोगुनी कर देता है। अतः Y की नई चाल 10 हो जाती है (X की चाल 7 ही रहेगी)। X कुल 21 चक्कर पूरे करता है, अतः वह दूसरे चरण में 21 - 7 = 14 चक्कर लगाएगा। चूँकि 14 चक्कर, 7 चक्करों का दोगुना है, यह चरण पहले चरण से दोगुने समय तक चलेगा। इस दोगुने समय में Y द्वारा लगाए गए चक्कर = 10 × 2 = 20 चक्कर। अब वे विपरीत दिशा में दौड़ रहे हैं, इसलिए उनकी सापेक्ष चाल जुड़ जाएगी। इस चरण में दोनों द्वारा तय की गई कुल दूरी = 14 (X) + 20 (Y) = 34 चक्कर। विपरीत दिशा में दौड़ते हुए, वे हर 1 संयुक्त चक्कर (Combined Lap) पूरा होने पर मिलते हैं। अतः इस चरण में वे 34 बार मिलेंगे।

कुल मुलाकातें: कुल बार मिलने की संख्या = 2 + 34 = 36 बार। चूँकि 36वीं बार वे ठीक उसी क्षण मिलते हैं जब उनके कुल चक्कर पूरे होते हैं और वे दौड़ना बंद कर देते हैं। प्रश्नों के मानक स्वरूप में, अंतिम बिंदु पर दौड़ समाप्त होने को 'दौड़ के दौरान मिलना' नहीं गिना जाता (और 36 विकल्पों में भी नहीं है)। अतः सही उत्तर 36 - 1 = 35 है।

गलत विकल्प क्यों हैं:

• B) 34: यह केवल दूसरे चरण की मुलाकातों को दर्शाता है, इसमें पहले चरण की मुलाकातों को छोड़ दिया गया है।
• C) 31: यह Y की बदली हुई चाल (दोगुनी) या सापेक्ष दूरी की गलत गणना का परिणाम है।
• D) 29: यह त्रुटिपूर्ण उत्तर तब आता है जब दिशा बदलने के बाद सापेक्ष चाल को जोड़ने के बजाय गलत तरीके से घटा दिया जाए।

Takeaway (याद रखने योग्य तथ्य): वृत्ताकार पथ पर, एक ही दिशा में कुल मुलाकातें उनकी चालों के अंतर (Difference) पर निर्भर करती हैं, और विपरीत दिशा में चालों के योग (Sum) पर। दौड़ के अंत में एक साथ रुकने वाले बिंदु को सामान्यतः दौड़ते समय मिलने की संख्या से बाहर रखा जाता है।