चार कथन X, Y, Z और W हैं। उनके संबंधों का वर्णन निम्नलिखित है : यदि X गलत है, तो Z भी गलत है; यदि Y गलत है, तो W सही है; यदि W सही है, तो X गलत है। निम्नलिखित में से कौन-सा/कौन-से सही है/हैं? I. यदि X सही है, तो Y भी सही है। II. यदि Z सही है, तो यह आवश्यक नहीं है कि Y सही है। नीचे दिए गए कूट का प्रयोग कर उत्तर चुनिए।

यह प्रश्न प्रपोज़िशनल लॉजिक (Propositional Logic) और प्रतिपरिवर्तन के नियम (Law of Contraposition) पर आधारित है। इस नियम के अनुसार, यदि 'A → B' (यदि A सत्य है, तो B सत्य है) सही है, तो '∼ B → ∼ A' (यदि B असत्य है, तो A असत्य है) भी अनिवार्य रूप से सत्य होता है।

आइए दिए गए कथनों को तार्किक रूप में लिखें और उनका प्रतिपरिवर्तन (Contrapositive) निकालें:

1. यदि X गलत है, तो Z गलत है (∼ X → ∼ Z)। प्रतिपरिवर्तन: यदि Z सही है, तो X सही है (Z → X)।
2. यदि Y गलत है, तो W सही है (∼ Y → W)। प्रतिपरिवर्तन: यदि W गलत है, तो Y सही है (∼ W → Y)।
3. यदि W सही है, तो X गलत है (W → ∼ X)। प्रतिपरिवर्तन: यदि X सही है, तो W गलत है (X → ∼ W)।

इन सभी परिणामों को जोड़ने पर हमें निम्नलिखित तार्किक श्रृंखला प्राप्त होती है: Z (सही) → X (सही) → W (गलत) → Y (सही)

अब कथनों का विश्लेषण करते हैं:

• कथन I: "यदि X सही है, तो Y भी सही है।" तार्किक श्रृंखला (X → ∼ W → Y) के अनुसार, यदि X सही है तो W गलत होगा, जिससे Y अनिवार्य रूप से सही हो जाएगा। अतः यह कथन पूर्णतः सत्य है।
• कथन II: "यदि Z सही है, तो यह आवश्यक नहीं है कि Y सही है।" श्रृंखला (Z → X → ∼ W → Y) से यह स्पष्ट है कि यदि Z सही है, तो Y निश्चित रूप से (100%) सही होगा। इसलिए यह कहना कि 'आवश्यक नहीं है', गलत है।

निष्कर्ष:

• विकल्प A (केवल I) सही है, क्योंकि केवल पहला कथन सत्य है।
• विकल्प B (केवल II) और विकल्प C (I और II दोनों) गलत हैं क्योंकि कथन II तार्किक रूप से असत्य है।
• विकल्प D (न तो I और न ही II) गलत है क्योंकि कथन I सत्य साबित हो चुका है।

Takeaway (महत्वपूर्ण सूत्र): न्याय निगमन (Syllogism) या तार्किक कथनों वाले प्रश्नों में हमेशा Contrapositive Law (P → Q ≡ ∼ Q → ∼ P) का उपयोग करके एक श्रृंखला बनाने का प्रयास करें, जिससे जटिल प्रश्न आसानी से हल हो जाते हैं।