निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए : प्रत्येक लाल, नीला है। प्रत्येक नीला, हरा है। प्रत्येक हरा, पीला है। P, Q और R द्वारा निरूपित निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं? P. प्रत्येक नीला, पीला है। Q. प्रत्येक लाल, हरा है। R. प्रत्येक लाल, पीला है। नीचे दिए गए कूट का प्रयोग कर उत्तर चुनिए।

यह प्रश्न न्याय निगमन (Syllogism) और समुच्चय सिद्धांत (Set Theory) के तार्किक नियमों पर आधारित है।

सही विकल्प (D) क्यों सही है: दिए गए कथनों को वेन आरेख (Venn Diagram) या गणितीय उपसमुच्चय (Subset) के रूप में इस प्रकार निरूपित किया जा सकता है:

1. प्रत्येक लाल, नीला है (Red ⊆ Blue)
2. प्रत्येक नीला, हरा है (Blue ⊆ Green)
3. प्रत्येक हरा, पीला है (Green ⊆ Yellow)

इन कथनों को जोड़ने पर हमें एक तार्किक श्रृंखला प्राप्त होती है: Red ⊆ Blue ⊆ Green ⊆ Yellow। समुच्चय सिद्धांत के 'सकर्मक गुण' (Transitive Property) के अनुसार, यदि A ⊆ B और B ⊆ C है, तो A ⊆ C होगा।

• P (प्रत्येक नीला, पीला है): चूँकि नीला, हरे का उपसमुच्चय है और हरा, पीले का, अतः यह कथन सत्य है (Blue ⊆ Yellow)।
• Q (प्रत्येक लाल, हरा है): लाल, नीले का हिस्सा है और नीला, हरे का, इसलिए यह भी सत्य है (Red ⊆ Green)।
• R (प्रत्येक लाल, पीला है): लाल इस श्रृंखला के सबसे आंतरिक वृत्त में है और पीला सबसे बाहरी वृत्त में, अतः यह कथन पूर्णतः सत्य है (Red ⊆ Yellow)। चूंकि P, Q और R तीनों निष्कर्ष तार्किक रूप से वैध हैं, इसलिए विकल्प D सही है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

• विकल्प A (केवल P और Q): यह गलत है क्योंकि यह सत्य निष्कर्ष R (प्रत्येक लाल, पीला है) की उपेक्षा करता है।
• विकल्प B (केवल Q और R): यह गलत है क्योंकि यह पूर्णतः सत्य निष्कर्ष P (प्रत्येक नीला, पीला है) को शामिल नहीं करता है।
• विकल्प C (केवल P और R): यह गलत है क्योंकि इसमें सत्य निष्कर्ष Q (प्रत्येक लाल, हरा है) को छोड़ दिया गया है।

याद रखने योग्य तथ्य (Takeaway): न्याय निगमन (Syllogism) के 'सभी A, B हैं' प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए हमेशा संकेन्द्रित वृत्तों (Concentric circles) वाला वेन आरेख बनाएं। इसमें अंदर के वृत्त (subset) का प्रत्येक अवयव हमेशा बाहर के सभी वृत्तों (superset) का हिस्सा होता है।