सभी द्वि-अंकीय धनात्मक पूर्णांकों में 5 कितनी बार आता है?

सभी द्वि-अंकीय धनात्मक पूर्णांक (two-digit positive integers) 10 से 99 तक होते हैं। इन संख्याओं में अंक '5' की कुल उपस्थिति की गणना इकाई और दहाई दोनों स्थानों के आधार पर की जाती है:

1. इकाई के स्थान पर 5 (Unit's place): 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95। यहाँ 5 कुल 9 बार आता है।
2. दहाई के स्थान पर 5 (Ten's place): 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59। यहाँ 5 कुल 10 बार आता है।

ध्यान दें कि संख्या 55 में अंक 5 दो बार आता है, और उपर्युक्त गणना में इसे इकाई और दहाई दोनों सूचियों में सही ढंग से गिना गया है। इस प्रकार, 5 की कुल आवृत्ति (9 + 10) = 19 बार है। अतः विकल्प (B) सही उत्तर है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

• विकल्प (A) 18 गलत है: यह उन कुल संख्याओं की गिनती (Count of numbers) है जिनमें 5 आता है, न कि अंक 5 की कुल आवृत्ति। अभ्यर्थी अक्सर '55' में मौजूद दूसरे '5' को गिनना भूल जाते हैं।
• विकल्प (C) 20 गलत है: 1 से 99 तक की कुल संख्याओं में कोई भी अंक (1-9) 20 बार आता है। चूँकि प्रश्न केवल द्वि-अंकीय (10 से 99) संख्याओं के लिए है, इसलिए हमें एकल-अंकीय संख्या '5' को हटाना होगा (20 - 1 = 19)।
• विकल्प (D) 21 गलत है: यह एक मनमाना विकल्प है जो गणितीय गणना के किसी भी तर्क से मेल नहीं खाता है।

निष्कर्ष/सुझाव: UPSC CSAT के संख्या पद्धति (Number System) वाले प्रश्नों में हमेशा याद रखें कि "अंक कितनी बार आता है" (Frequency of digit) और "कितनी संख्याओं में वह अंक है" (Count of numbers) दोनों अलग-अलग अवधारणाएँ हैं। 1 से 99 के बीच किसी भी शून्येतर (non-zero) अंक की कुल आवृत्ति 20 होती है।