प्रश्न : X कतिपय विषम संख्याओं का संचय है जबकि Y कतिपय सम संख्याओं का संचय है। T में जो संख्याएँ हैं, वे सभी या तो X में से हैं या Y में से हैं। क्या T की प्रत्येक संख्या Y में से है? कथन I : T में सम्मिलित किन्हीं दो संख्याओं का योग सम है। कथन II : यदि p और q दोनों को T से लिया गया है, तो (p - 1)q सम है।

यह प्रश्न 'संख्या पद्धति' (Number System) और सम-विषम संख्याओं के आधारभूत नियमों (Parity properties) पर आधारित है। यूपीएससी (UPSC) के सीसैट (CSAT) में ऐसे प्रश्न डेटा पर्याप्तता (Data Sufficiency) की तार्किक गहराई जाँचने के लिए पूछे जाते हैं।

प्रश्नानुसार, X विषम संख्याओं (Odd numbers) का समुच्चय है और Y सम संख्याओं (Even numbers) का समुच्चय है। हमें यह निर्धारित करना है कि क्या T की सभी संख्याएँ Y (अर्थात सम संख्याएँ) से हैं।

कथन I का विश्लेषण: T में सम्मिलित किन्हीं दो संख्याओं का योग सम है। गणित के आधारभूत नियमानुसार, दो विषम संख्याओं का योग भी सम होता है (विषम + विषम = सम) और दो सम संख्याओं का योग भी सम होता है (सम + सम = सम)। इसका अर्थ है कि T या तो पूरी तरह विषम संख्याओं का समुच्चय है या पूरी तरह सम संख्याओं का। अतः यह सुनिश्चित नहीं किया जा सकता कि T की सभी संख्याएँ केवल Y से ही हैं। (कथन I पर्याप्त नहीं है)

कथन II का विश्लेषण: T से लिए गए p और q के लिए (p - 1)q सम है।

• यदि T में सभी विषम संख्याएँ हों: p विषम होगा, जिससे (p-1) सम हो जाएगा। सम × विषम = सम होता है।
• यदि T में सभी सम संख्याएँ हों: q सम होगा। अतः (p-1) कुछ भी हो, गुणनफल सम ही होगा। यह कथन भी केवल यही सिद्ध करता है कि T या तो पूरी तरह विषम है या पूरी तरह सम है। (कथन II पर्याप्त नहीं है)

निष्कर्ष: दोनों कथनों को मिलाने पर भी यह स्पष्ट नहीं होता कि T की संख्याएँ निश्चित रूप से Y (सम) से हैं। अतः सही उत्तर विकल्प D है।

अन्य विकल्पों का विश्लेषण:

• विकल्प A और B: गलत हैं क्योंकि कोई भी अकेला कथन (I या II) यह स्पष्ट नहीं करता कि T में केवल सम संख्याएँ हैं।
• विकल्प C: गलत है क्योंकि दोनों कथनों को एक साथ मिलाकर भी कोई नई या निर्णायक जानकारी प्राप्त नहीं होती है जिससे सिद्ध हो कि T सम संख्याओं का समुच्चय है।

याद रखने योग्य तथ्य (Takeaway): सम-विषम के गुणधर्मों (जैसे Odd+Odd=Even और Even+Even=Even) से अक्सर एक से अधिक संभावित स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं, अतः बिना किसी अतिरिक्त विशिष्ट जानकारी के केवल एक नियम से अंतिम निष्कर्ष पर नहीं पहुँचना चाहिए।