यदि 10ᵐ × 1000 × n = 75²⁵ × 25³² × 32⁷⁵ है, जहाँ n, 10 से विभाज्य नहीं है, तो m का मान क्या है?

यह प्रश्न संख्या पद्धति (Number System) और अभाज्य गुणनखंडन (Prime Factorization) की अवधारणाओं पर आधारित है। सिविल सेवा सीसैट (CSAT) परीक्षा में ऐसे प्रश्न सामान्यतः पूछे जाते हैं।

सही विकल्प (B) 111 क्यों है: दिया गया समीकरण है: 10ᵐ × 1000 × n = 75²⁵ × 25³² × 32⁷⁵

सबसे पहले दाएँ पक्ष (RHS) का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:

• 75²⁵ = (3 × 5²)²⁵ = 3²⁵ × 5⁵⁰
• 25³² = (5²)³² = 5⁶⁴
• 32⁷⁵ = (2⁵)⁷⁵ = 2³⁷⁵

इन्हें मिलाने पर RHS = 3²⁵ × 5⁽⁵⁰⁺⁶⁴⁾ × 2³⁷⁵ = 3²⁵ × 5¹¹⁴ × 2³⁷⁵

हम जानते हैं कि 10 का निर्माण 2 और 5 के गुणनफल से होता है। 10 की कुल घातें 2 और 5 की न्यूनतम घात पर निर्भर करती हैं। यहाँ 5 की घात 114 है और 2 की घात 375 है। अतः 10 की अधिकतम घात min(114, 375) = 114 होगी। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: RHS = 10¹¹⁴ × (3²⁵ × 2²⁶¹)

अब बाएँ पक्ष (LHS) को देखते हैं: 10ᵐ × 10³ × n = 10⁽ᵐ⁺³⁾ × n

चूँकि प्रश्न के अनुसार n, 10 से विभाज्य नहीं है (अर्थात n में 2 और 5 का उभयनिष्ठ युग्म नहीं है), इसलिए 10 की सभी घातें 10⁽ᵐ⁺³⁾ में समाहित होनी चाहिए। दोनों पक्षों की तुलना करने पर: m + 3 = 114 ⟹ m = 114 - 3 = 111 अतः सही उत्तर 111 है।

अन्य विकल्प गलत क्यों हैं:

• विकल्प (A) 101: यह गलत है। यह उत्तर तब आ सकता है यदि कोई 1000 को 10¹³ मान ले या गणना में कोई अन्य त्रुटि करे।
• विकल्प (C) 121: यह गलत है। यह 5 की घातों को गलत तरीके से जोड़ने का परिणाम हो सकता है।
• विकल्प (D) 131: यह गलत है। यदि छात्र समीकरण हल करते समय m+3 को घटाने के बजाय 114 में जोड़ दे, तो यह त्रुटिपूर्ण उत्तर प्राप्त होता है।

निष्कर्ष (Takeaway): किसी भी जटिल गुणनफल में 10 की अधिकतम घात (या अंत में शून्यों की संख्या) ज्ञात करने के लिए, हमेशा दी गई संख्या को 2 और 5 के अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ें। इन दोनों में से जिसकी घात न्यूनतम (minimum) होगी, वही 10 की कुल घात होगी।