कितनी तीन-अंकीय संख्याओं को 2 के पूर्णांकीय घात के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है?

प्रश्न में पूछा गया है कि कितनी तीन-अंकीय संख्याओं (3-digit numbers) को 2 के पूर्णांकीय घात (integer powers of 2) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

सही विकल्प (C) 3 क्यों है: मूलभूत संख्या प्रणाली और गणितीय सिद्धांतों (NCERT कक्षा 7 और 8 - 'घातांक और घात' अध्याय) के अनुसार, यदि हम 2 की धनात्मक पूर्णांक घातों की क्रमिक गणना करें: • 2^6 = 64 (दो अंकों की संख्या) • 2^7 = 128 (पहली तीन-अंकीय संख्या) • 2^8 = 256 (दूसरी तीन-अंकीय संख्या) • 2^9 = 512 (तीसरी तीन-अंकीय संख्या) • 2^10 = 1024 (चार अंकों की संख्या) उपरोक्त गणितीय प्रमाण से यह पूर्णतः स्पष्ट है कि केवल 128, 256 और 512 ही ऐसी तीन संख्याएँ हैं जो तीन-अंकीय हैं। अतः कुल 3 ऐसी संख्याएँ मौजूद हैं, जिसके कारण विकल्प C सही है।

अन्य विकल्प गलत क्यों हैं: • विकल्प A (1) गलत है: क्योंकि 2 की घात वाली तीन-अंकीय संख्या केवल एक (जैसे 128) नहीं है, बल्कि कुल तीन संख्याएँ (128, 256, 512) मौजूद हैं। • विकल्प B (2) गलत है: क्योंकि यह गणना में एक संख्या को छोड़ देता है; वास्तव में ऐसी संख्याएँ दो नहीं, बल्कि तीन हैं। • विकल्प D (4) गलत है: क्योंकि 2 की चौथी घात जो 512 के बाद आती है (2^10 = 1024), वह एक चार-अंकीय संख्या बन जाती है, अतः चौथी संख्या इस श्रेणी में नहीं आ सकती।

निष्कर्ष / महत्वपूर्ण सूत्र (Takeaway): UPSC CSAT के 'Number System' (संख्या पद्धति) प्रश्नों को तीव्रता से हल करने के लिए अभ्यर्थियों को 2 की घातों (कम से कम 2^1 से 2^10 तक: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024) को हमेशा मौखिक रूप से याद (कंठस्थ) रखना चाहिए।