प्रश्न : यदि x, y और z पूर्णांक हैं, जिनमें से प्रत्येक 1 से बड़ा है, तो क्या x एक अभाज्य संख्या है? कथन I : x y² = 116 कथन II : x z = 261

स्पष्टीकरण:

यह प्रश्न 'आँकड़ा पर्याप्तता' (Data Sufficiency) और 'अंकगणित के मौलिक प्रमेय' (Fundamental Theorem of Arithmetic) की अवधारणाओं पर आधारित है।

कथन I का विश्लेषण: xy² = 116 116 का अभाज्य गुणनखंडन (Prime Factorization) करने पर हमें 116 = 2 × 2 × 29 = 2² × 29 प्राप्त होता है। चूँकि दिया गया है कि x और y दोनों 1 से बड़े पूर्णांक हैं (x, y > 1), इसलिए समीकरण xy² = 29 × 2² की तुलना करने पर, यह स्पष्ट है कि y² = 2² (अर्थात y = 2) और x = 29 होगा। चूँकि 29 एक अभाज्य संख्या (Prime Number) है, इसलिए हमें एक निश्चित उत्तर मिलता है कि x एक अभाज्य संख्या है। अतः, केवल कथन I पर्याप्त है।

कथन II का विश्लेषण: xz = 261 261 का गुणनखंडन करने पर: 261 = 3 × 3 × 29 = 9 × 29 चूँकि x और z 1 से बड़े पूर्णांक हैं, इसलिए x और z के युग्म (3, 87), (9, 29), (29, 9) या (87, 3) हो सकते हैं। इसका अर्थ है कि x के संभावित मान 3, 9, 29, या 87 हो सकते हैं। यहाँ 3 और 29 अभाज्य हैं, जबकि 9 और 87 भाज्य (Composite) संख्याएँ हैं। अतः, यह कथन कोई निश्चित उत्तर नहीं देता है।

विकल्पों का विश्लेषण:

• विकल्प A (सही): उपर्युक्त गणितीय प्रमाण के अनुसार, केवल कथन I का उपयोग करके प्रश्न का निश्चित उत्तर दिया जा सकता है।
• विकल्प B (गलत): यह गलत है क्योंकि कथन II अकेले उत्तर देने के लिए पर्याप्त नहीं है (इसमें x अभाज्य और भाज्य दोनों हो सकता है)।
• विकल्प C (गलत): दोनों कथनों को एक साथ मिलाने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि कथन I स्वयं पूर्ण रूप से पर्याप्त है।
• विकल्प D (गलत): यह गलत है क्योंकि कथन I उत्तर देने में सक्षम है।

निष्कर्ष (Takeaway): आँकड़ा पर्याप्तता (Data Sufficiency) के प्रश्नों में, हमेशा प्रत्येक कथन का स्वतंत्र रूप से परीक्षण करें। अज्ञात चरों (variables) के पूर्णांक मानों वाले प्रश्नों में 'अभाज्य गुणनखंडन विधि' (Prime Factorization) सबसे प्रामाणिक और सटीक तकनीक है।