A एक 2-अंकीय संख्या है, जिसके भिन्न अंक हैं। B भी एक 2-अंकीय संख्या है, जो A के अंकों को उलट (reverse) देने पर प्राप्त होती है। यदि A - B, 27 का एक गुणज है, जहाँ A > B है, तब ऐसे कितने भिन्न A संभव हैं?

सही उत्तर: विकल्प B (9)

सही विकल्प क्यों सही है: दशमलव संख्या प्रणाली (Decimal Number System) के नियमानुसार, माना 2-अंकीय संख्या A = 10x + y है, जहाँ x (दहाई) और y (इकाई) भिन्न अंक हैं। प्रश्न के अनुसार, A के अंकों को उलटने पर B प्राप्त होता है। अतः, B = 10y + x होगा। चूँकि B भी एक 2-अंकीय संख्या है, इसलिए इसका दहाई का अंक y शून्य (0) नहीं हो सकता (अर्थात् y ≠ 0)। साथ ही, A > B है, इसलिए x > y होगा।

अब, A और B का अंतर: A - B = (10x + y) - (10y + x) = 9x - 9y = 9(x - y) दिया गया है कि (A - B), 27 का एक गुणज (multiple) है। अर्थात्, 9(x - y) = 27k (जहाँ k एक धनात्मक पूर्णांक है) अतः x - y = 3k चूँकि x और y, 1 से 9 तक के एकल अंक हैं, इसलिए उनका अधिकतम संभव अंतर 8 (अर्थात 9-1) हो सकता है। अतः k के संभावित मान केवल 1 और 2 हो सकते हैं।

स्थिति 1: यदि k = 1 हो, तो x - y = 3 इसके लिए (x, y) के संभावित जोड़े: (9,6), (8,5), (7,4), (6,3), (5,2), और (4,1)। (कुल 6 संख्याएँ)

स्थिति 2: यदि k = 2 हो, तो x - y = 6 इसके लिए (x, y) के संभावित जोड़े: (9,3), (8,2), और (7,1)। (कुल 3 संख्याएँ) [ध्यान दें: (3,0), (6,0) और (9,0) को शामिल नहीं किया गया है क्योंकि y=0 होने पर B एक-अंकीय संख्या (जैसे 03) बन जाएगी।]

अतः A के कुल संभावित मान = 6 + 3 = 9 होंगे। इसलिए विकल्प B सही है।

गलत विकल्प क्यों गलत हैं:

• विकल्प A (6): यह गलत है क्योंकि यह केवल x - y = 3 वाली स्थिति के 6 मानों को गिनता है और x - y = 6 की उपेक्षा करता है।
• विकल्प C (12): यह गलत है क्योंकि यदि y = 0 को भी शामिल कर लिया जाए, तब कुल जोड़े 12 (7+4+1) बनते हैं। लेकिन प्रश्न की शर्त के अनुसार B एक 2-अंकीय संख्या है, इसलिए y ≠ 0 होना अनिवार्य है।
• विकल्प D (18): यह गलत है क्योंकि यह बिना किसी गणितीय आधार के संभावित मानों की संख्या को दोगुना कर देता है।

निष्कर्ष / टेकअवे: किसी 2-अंकीय संख्या और उसके अंकों को पलटने से बनी संख्या का अंतर हमेशा 9(x-y) होता है। परीक्षा में यह हमेशा ध्यान रखें कि यदि पलटी गई संख्या (B) भी 2-अंकीय है, तो मूल संख्या (A) का इकाई अंक कभी 0 नहीं हो सकता, अन्यथा उलटने पर वह 1-अंकीय संख्या बन जाएगी।