प्रश्न : यदि x और y पूर्णांक हैं, तो क्या x सम है? कथन I : x² y² सम है। कथन II : 1 + x² + y² विषम है।

यह प्रश्न यूपीएससी सीसैट (CSAT) में पूछे जाने वाले 'आँकड़ा पर्याप्तता' (Data Sufficiency) और 'संख्या पद्धति' (Number System) के सम-विषम (Parity) नियमों पर आधारित है।

सही विकल्प (C) क्यों है: प्रश्न में पूछा गया है कि क्या x सम (even) है?

कथन I का परीक्षण: x² y² सम है। इसका अर्थ है कि (xy)² सम है, इसलिए xy भी सम होगा। xy सम तभी हो सकता है जब x या y में से कम से कम कोई एक सम हो। यहाँ x सम भी हो सकता है और विषम भी (यदि y सम हो)। अतः केवल कथन I उत्तर देने के लिए पर्याप्त नहीं है।

कथन II का परीक्षण: 1 + x² + y² विषम (odd) है। चूँकि 1 एक विषम संख्या है, अतः x² + y² सम होना चाहिए (क्योंकि विषम + सम = विषम)। दो पूर्ण वर्गों का योग (x² + y²) तभी सम हो सकता है जब x और y या तो दोनों सम हों या दोनों विषम हों। यहाँ भी x के सम होने की निश्चितता नहीं है (यह विषम भी हो सकता है)। अतः केवल कथन II पर्याप्त नहीं है।

दोनों कथनों का संयोजन: कथन II से सिद्ध होता है कि x और y दोनों समान प्रकृति के हैं (या तो दोनों सम या दोनों विषम)। परन्तु कथन I के अनुसार कम से कम एक सम होना चाहिए, अर्थात् दोनों विषम नहीं हो सकते। अतः एकमात्र संभावना यही बचती है कि x और y दोनों सम हैं। इससे यह निश्चित उत्तर मिल जाता है कि x एक सम संख्या है। चूँकि दोनों कथनों का एक साथ उपयोग करके ही उत्तर प्राप्त किया जा सकता है, इसलिए विकल्प C सही है।

अन्य विकल्प गलत क्यों हैं:

• A और B गलत हैं: क्योंकि कोई भी एक अकेला कथन x के सम होने की निश्चित पुष्टि नहीं करता (दोनों ही स्थितियों में x के विषम होने की गुंजाइश बचती है)।
• D गलत है: क्योंकि दोनों कथनों की सूचनाओं को मिलाने पर अंतर्विरोध दूर हो जाता है और हमें स्पष्ट उत्तर प्राप्त हो जाता है।

निष्कर्ष / टेकअवे (Takeaway): डेटा पर्याप्तता के गणितीय प्रश्नों में सम-विषम (Parity Rules) के आधारभूत नियमों को याद रखें: (विषम × विषम = विषम) तथा (सम + सम = सम और विषम + विषम = सम)। हमेशा पहले दोनों कथनों का स्वतंत्र रूप से परीक्षण करें और अपर्याप्त होने पर ही उन्हें आपस में मिलाएँ।