किसी परीक्षा में किसी विद्यार्थी के अंक में संशोधन किए जाने पर कक्षा के औसत अंक x̄ में 4 की वृद्धि होती है; इस विद्यार्थी को 0 के स्थान पर संशोधित अंक 100 मिलते हैं। बाद में, यह पता चलता है कि दूसरे विद्यार्थी के अंक 56 के स्थान पर 81 दर्ज हुए हैं। यदि और कोई संशोधन नहीं होता है तथा अंतिम संशोधित औसत ȳ है, तो ȳ - x̄ क्या है?

यह प्रश्न औसत (Average) की अवधारणा पर आधारित है। इसे हल करने के लिए हम क्रमिक संशोधनों (successive corrections) का विश्लेषण करेंगे।

सही विकल्प (B) क्यों है:

1. विद्यार्थियों की संख्या (n) ज्ञात करना: प्रश्न के अनुसार, पहले संशोधन में एक विद्यार्थी के अंक 0 से 100 किए जाते हैं। कुल अंकों में वृद्धि = 100 - 0 = 100 औसत में वृद्धि = 4 सूत्र: औसत में परिवर्तन = कुल अंकों में परिवर्तन / विद्यार्थियों की संख्या (n) 4 = 100 / n ⇒ n = 25 अतः कक्षा में 25 विद्यार्थी हैं। पहले संशोधन के बाद नया औसत = x̄ + 4 होगा।

2. अंतिम औसत (ȳ) की गणना: बाद में पता चलता है कि एक अन्य विद्यार्थी के अंक 56 के स्थान पर 81 दर्ज हो गए थे। यानी, हमें 81 को हटाकर 56 करना होगा। कुल अंकों में आवश्यक सुधार = सही अंक - गलत अंक = 56 - 81 = -25 इस कारण औसत में परिवर्तन = -25 / 25 (विद्यार्थी) = -1 अंतिम संशोधित औसत (ȳ) = पहले संशोधन के बाद का औसत - 1 ȳ = (x̄ + 4) - 1 = x̄ + 3

3. ȳ - x̄ का मान: चूँकि ȳ = x̄ + 3, इसलिए ȳ - x̄ = 3। अतः विकल्प (B) सही है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

• (A) 2: यह तब होता जब दूसरे संशोधन से औसत में 2 की कमी होती (अर्थात कुल 50 अंकों की कमी), जो गलत है।
• (C) 5: यह तब होता यदि हम 25 अंक घटाने के बजाय गलती से जोड़ देते (अर्थात 56 की जगह 81 करने का प्रभाव), जबकि हमें त्रुटि सुधारने के लिए अंक घटाने हैं।
• (D) 6: यह तब आता है जब दोनों संशोधनों के प्रभावों को घटाने के बजाय जोड़ा जाता है, जो गणितीय रूप से अमान्य है।

निष्कर्ष (Takeaway): औसत के प्रश्नों में हमेशा कुल योग में हुए परिवर्तन (∆Sum) की गणना करें। 'विद्यार्थियों की संख्या' (n = ∆Sum / ∆Average) ज्ञात करने से बाद के संशोधनों का प्रभाव आसानी से निकाला जा सकता है।