एक रेलगाड़ी को 800 km की दूरी तय करनी है। यदि उसकी मामूली दुर्घटना होती है, तो उसकी चाल, विद्यमान चाल से आधी रह जाती है। यदि कोई यांत्रिक त्रुटि होती है, तो उसकी चाल, विद्यमान चाल की एक-चौथाई रह जाती है। अपने यात्रा मार्ग में, 200 km के बाद रेलगाड़ी की एक मामूली दुर्घटना होती है; और उसके 400 km के बाद उसमें यांत्रिक त्रुटि आ जाती है। यदि रेलगाड़ी में 200 km के बाद यांत्रिक त्रुटि आई होती और उसके 400 km के बाद उसकी मामूली दुर्घटना हुई होती, तो उसे अपने गंतव्य पर पहुँचने में 4 घंटे और लग जाते। रेलगाड़ी की प्रारंभिक चाल km प्रति घंटा क्या थी?

यह प्रश्न UPSC CSAT (Paper II) के 'समय, दूरी और चाल' (Time, Speed and Distance) विषय से संबंधित है। सही उत्तर विकल्प A (200) है।

विस्तृत गणितीय हल: माना रेलगाड़ी की प्रारंभिक चाल v किमी/घंटा है। यात्रा की कुल दूरी 800 किमी है।

स्थिति 1:

• पहले 200 किमी का समय = 200/v
• मामूली दुर्घटना के बाद चाल v/2 हो जाती है। अगले 400 किमी का समय = 400 / (v/2) = 800/v
• यांत्रिक त्रुटि के बाद चाल वर्तमान चाल की एक-चौथाई यानी (v/2) × (1/4) = v/8 हो जाती है। शेष 200 किमी (800 - 600) का समय = 200 / (v/8) = 1600/v
• कुल समय (T₁) = 200/v + 800/v + 1600/v = 2600/v

स्थिति 2:

• पहले 200 किमी का समय = 200/v
• यांत्रिक त्रुटि के बाद चाल v/4 हो जाती है। अगले 400 किमी का समय = 400 / (v/4) = 1600/v
• मामूली दुर्घटना के बाद चाल आधी यानी (v/4) × (1/2) = v/8 हो जाती है। शेष 200 किमी का समय = 200 / (v/8) = 1600/v
• कुल समय (T₂) = 200/v + 1600/v + 1600/v = 3400/v

समीकरण: प्रश्नानुसार, स्थिति 2 में 4 घंटे अधिक लगते हैं (T₂ - T₁ = 4)। 3400/v - 2600/v = 4 800/v = 4 ⟹ v = 200 किमी/घंटा।

अन्य विकल्प गलत क्यों हैं:

• B) 190: समीकरण 800/v = 4 में v = 190 रखने पर समयांतर लगभग 4.21 घंटे आता है, जो प्रश्न की शर्त के विरुद्ध है।
• C) 150: यदि चाल 150 हो, तो समयांतर 800/150 = 5.33 घंटे होता है, 4 घंटे नहीं।
• D) 100: यदि चाल 100 हो, तो समयांतर 800/100 = 8 घंटे होता है, जो प्रश्न की शर्त का उल्लंघन करता है।

निष्कर्ष (Takeaway): याद रखें: समय = दूरी / चाल। ऐसे प्रश्नों में यात्रा के प्रत्येक भाग (segment) का अलग-अलग समय निकालकर बीजगणितीय समीकरण (Algebraic equation) बनाना ही सबसे प्रामाणिक तरीका है।