चार प्रकार के बाट (weights) हैं, नामतः 1 kg, 2 kg, 5 kg और 10 kg. यदि मापते समय, कम-से-कम आठ, किन्तु ग्यारह से अनधिक 1 kg के बाटों का उपयोग किया जाना है, तो 20 kg के वज़न को अधिकतम कितने भिन्न प्रकार से मापा जा सकता है?

इस प्रश्न का सही उत्तर विकल्प B (8) है। यह प्रश्न गणित के संख्या पद्धति (Number System) और संयोजनों (Combinatorics) की मूल अवधारणाओं पर आधारित है, जिसे अक्सर UPSC CSAT जैसी परीक्षाओं में तार्किक क्षमता जांचने के लिए पूछा जाता है।

सही विकल्प B क्यों है: हमें कुल 20 kg वज़न मापना है और हमारे पास 1 kg, 2 kg, 5 kg और 10 kg के बाट उपलब्ध हैं। शर्त के अनुसार, 1 kg के बाटों की संख्या कम-से-कम 8 और अधिकतम 11 हो सकती है। आइए प्रत्येक स्थिति (Case) के लिए अन्य बाटों के संयोजनों की गणना करें:

1. स्थिति 1: 1 kg के 8 बाट (कुल 8 kg) शेष वज़न = 20 - 8 = 12 kg। इसे मापने के तरीके:

   • 1×10 kg + 1×2 kg
   • 2×5 kg + 1×2 kg
   • 6×2 kg (कुल 3 तरीके)

2. स्थिति 2: 1 kg के 9 बाट (कुल 9 kg) शेष वज़न = 20 - 9 = 11 kg। इसे मापने के तरीके:

   • 1×5 kg + 3×2 kg (कुल 1 तरीका)

3. स्थिति 3: 1 kg के 10 बाट (कुल 10 kg) शेष वज़न = 20 - 10 = 10 kg। इसे मापने के तरीके:

   • 1×10 kg
   • 2×5 kg
   • 5×2 kg (कुल 3 तरीके)

4. स्थिति 4: 1 kg के 11 बाट (कुल 11 kg) शेष वज़न = 20 - 11 = 9 kg। इसे मापने के तरीके:

   • 1×5 kg + 2×2 kg (कुल 1 तरीका)

कुल संभव तरीके = 3 + 1 + 3 + 1 = 8। अतः अधिकतम 8 भिन्न प्रकार से वज़न मापा जा सकता है।

अन्य विकल्प गलत क्यों हैं:

• A) 7: यह गलत है क्योंकि यदि आप गणना में कोई एक संयोजन (जैसे केवल 2 kg वाले बाटों का उपयोग) छोड़ देते हैं, तब 7 उत्तर प्राप्त होता है, जो अपूर्ण है।
• C) 9: यह गलत है क्योंकि दी गई गणितीय शर्तों के अंतर्गत 8 से अधिक कोई मान्य संयोजन (valid combination) नहीं बनता है।
• D) 10: यह गलत है। यह संख्या तब मिल सकती है जब 1 kg के बाटों की संख्या 8 से कम या 11 से अधिक मान ली जाए, जो प्रश्न में दी गई सीमा का सीधा उल्लंघन है।

निष्कर्ष (Takeaway): क्रमचय (Permutation) और संचय (Combination) से जुड़े ऐसे प्रश्नों में, सबसे अधिक प्रतिबंध वाले चर (यहाँ 1 kg के बाट) को आधार बनाकर व्यवस्थित तरीके (Systematic listing) से स्थितियाँ बनानी चाहिए। इससे कोई भी संभावित तरीका छूटता नहीं है और गणना 100% सटीक होती है।