एक मेज़ का ऊपरी पृष्ठ (top of a table) आयताकार है और उसके आयाम 6' × 10' हैं। मेज़ के ऊपरी पृष्ठ के दो आयताकार भागों को नीले रंग से रंगा गया है; इन दोनों भागों के आयाम 2.5' × 8' हैं और उनमें से प्रत्येक की सटीक दो भुजाएँ, मेज़ के ऊपरी पृष्ठ के दो किनारों के उभयनिष्ठ हैं। यदि मेज़ को ज़मीन पर स्थिर रखा जाता है और मेज़ के ऊपरी पृष्ठ के शेष भाग को सफ़ेद रंग से रंगा जाता है, तो ऊपर से देखने पर कितने भिन्न प्रतिरूप (पैटर्न) संभव हैं?

यह प्रश्न ज्यामिति और क्रमचय-संचय (Geometry and Combinatorics) के तार्किक अनुप्रयोग पर आधारित है।

सही विकल्प (B) 4 क्यों है:

1. स्थान का निर्धारण: नीले आयताकार भागों के आयाम 2.5' × 8' हैं। शर्त के अनुसार, प्रत्येक नीले भाग की 'सटीक दो भुजाएँ' मेज़ (6' × 10') के किनारों के साथ उभयनिष्ठ (common) होनी चाहिए। किसी भी आयत की ठीक दो भुजाएँ तभी मेज़ के किनारों से मिल सकती हैं, जब उसे मेज़ के किसी कोने (corner) में रखा जाए।
2. दिशा (Orientation): चूँकि नीले आयत की लंबाई (8') मेज़ की चौड़ाई (6') से अधिक है, इसलिए नीले आयत की 8' वाली भुजा को मेज़ की 10' वाली भुजा के अनुदिश ही रखना होगा। अतः प्रत्येक कोने पर इसे रखने का केवल एक ही तरीका संभव है।
3. कुल संयोजन: मेज़ के 4 कोने होते हैं। 4 में से 2 कोनों का चयन करने के कुल तरीके ⁴C₂ = 6 होते हैं।
4. अतिव्यापन (Overlapping) का निष्कासन:
   • यदि हम दोनों नीले आयतों को 10' वाली एक ही भुजा के दोनों कोनों (जैसे ऊपरी-बाएँ और ऊपरी-दाएँ) पर रंगते हैं, तो वे आपस में मिल जाएँगे (चूँकि 8' + 8' = 16' > 10')। इससे वे मिलकर 10' × 2.5' का केवल एक बड़ा नीला आयत बना लेंगे, जिससे "दो अलग-अलग 2.5' × 8' भागों" की शर्त टूट जाएगी।
   • ऐसी 2 स्थितियाँ होंगी (ऊपरी 10' भुजा के दोनों कोने और निचली 10' भुजा के दोनों कोने)।
   • शेष 4 स्थितियों में (6' भुजा वाले एक ही तरफ के कोने, या विकर्णतः विपरीत कोने), दोनों आयतों के बीच 1' (6' - 2.5' - 2.5') का सफेद गैप रहेगा, जिससे वे ऊपर से देखने पर स्पष्ट रूप से दो अलग-अलग आयतों के रूप में दिखाई देंगे (चूँकि मेज़ स्थिर है, इसलिए घूर्णन/rotation से पैटर्न एक समान नहीं माने जाएंगे)। अतः ऊपर से देखने पर ठीक 4 भिन्न प्रतिरूप संभव हैं।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

• विकल्प A (2): यह गलत है क्योंकि यह केवल विकर्णतः विपरीत (diagonally opposite) कोनों को ही गिनता है और 6' भुजा वाले संलग्न कोनों के पैटर्न को छोड़ देता है।
• विकल्प C (6): यह गलत है क्योंकि यह 4 में से 2 कोनों को चुनने के सभी गणितीय संयोजनों (⁴C₂) को दर्शाता है, लेकिन उन 2 स्थितियों को नहीं हटाता जहाँ आयत आपस में मिलकर एक बड़ा आयत बना लेते हैं।
• विकल्प D (8): यह गलत है, जो संभवतः यह मानकर की गई त्रुटि है कि प्रत्येक कोने पर आयत को 2 दिशाओं (orientations) में रखा जा सकता है (जो 8' > 6' होने के कारण असंभव है)।

निष्कर्ष / टेकअवे (Takeaway): UPSC CSAT के ऐसे तार्किक प्रश्नों में, केवल गणितीय सूत्रों (Combinatorics) पर निर्भर न रहें; वास्तविक ज्यामितीय आकृतियों के अतिव्यापन (Overlapping) और दृश्य परिणामों (Visual Patterns) का मानसिक चित्रण (mental visualization) अवश्य करें।