एक वस्तुनिष्ठ प्रकार के प्रश्न-पत्र में, सही उत्तर के लिए 5 अंक दिए जाते हैं और गलत उत्तर के लिए 2 अंक घटा दिए जाते हैं। एक विद्यार्थी ने सभी प्रश्नों के उत्तर दिए और उसे 69 अंक मिले। यदि उसे एक सही उत्तर के लिए 4 अंक दिए जाते और एक गलत उत्तर के लिए 1 अंक घटा दिया जाता, तो उसे 84 अंक मिलते। प्रश्न-पत्र में कितने प्रश्न थे?

सही उत्तर विकल्प B (81) क्यों है:

यह प्रश्न UPSC CSAT (प्रारंभिक परीक्षा प्रश्न-पत्र II) के 'बुनियादी संख्यात्मकता' (Basic Numeracy) के अंतर्गत रैखिक समीकरणों (Linear Equations) के अनुप्रयोग पर आधारित है।

माना कि विद्यार्थी द्वारा दिए गए सही उत्तरों की संख्या = x और गलत उत्तरों की संख्या = y परीक्षा में कुल प्रश्नों की संख्या = x + y

प्रश्नानुसार, प्रथम शर्त: 5x - 2y = 69 ... (समीकरण 1)

द्वितीय शर्त: 4x - 1y = 84 ⟹ y = 4x - 84 ... (समीकरण 2)

समीकरण 2 से y का मान समीकरण 1 में प्रतिस्थापित (Substitute) करने पर: 5x - 2(4x - 84) = 69 5x - 8x + 168 = 69 -3x = 69 - 168 -3x = -99 ⟹ x = 33

अब x = 33 का मान समीकरण 2 में रखने पर: y = 4(33) - 84 ⟹ y = 132 - 84 = 48

चूंकि विद्यार्थी ने सभी प्रश्नों के उत्तर दिए हैं, अतः कुल प्रश्नों की संख्या = x + y = 33 + 48 = 81। इसलिए विकल्प B सही है।

अन्य विकल्प गलत क्यों हैं:

• विकल्प A (99): यह गणना के दौरान आने वाला केवल एक मध्यवर्ती मान (-3x = -99 से प्राप्त 99) है। जल्दबाजी में इसे उत्तर मान लेना एक सामान्य त्रुटि है।
• विकल्प C (84): यह संख्या द्वितीय शर्त में दिए गए विद्यार्थी के संभावित प्राप्तांक (84 अंक) को दर्शाती है, न कि कुल प्रश्नों को। परीक्षार्थियों को भ्रमित करने के लिए इसे विकल्प में रखा गया है।
• विकल्प D (79): यह किसी भी गणितीय तर्क से सिद्ध नहीं होता है और केवल गणना में होने वाली त्रुटियों (Calculation errors) पर आधारित एक गलत विकल्प है।

निष्कर्ष (Takeaway): CSAT में दो चरों वाले रैखिक समीकरणों (Linear equations in two variables) के प्रश्नों को हल करते समय प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method) अत्यंत कारगर होती है। समीकरण हल करने के बाद हमेशा यह जाँचें कि प्रश्न के अंत में वास्तव में क्या पूछा गया है (जैसे यहाँ केवल सही उत्तरों की संख्या नहीं, बल्कि 'कुल प्रश्न' अर्थात् x+y पूछा गया था)।