व्यक्तियों के एक समूह में जो एक बस में यात्रा कर रहे हैं, 6 व्यक्ति तमिल बोल सकते हैं, 15 व्यक्ति Hindi बोल सकते हैं और 6 व्यक्ति Gujarati बोल सकते हैं। उस समूह में कोई भी अन्य भाषा नहीं बोल सकता है। यदि समूह में 2 व्यक्ति केवल दो भाषाएँ बोल सकते हैं और एक व्यक्ति तीनों भाषाएँ बोल सकता है, तो समूह में कितने व्यक्ति हैं?

इस समस्या को तीन समुच्चयों के लिए समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करके, या वेन आरेख में विभिन्न क्षेत्रों की कल्पना करके हल किया जा सकता है।

मान लीजिए N(T), N(H), N(G) क्रमशः तमिल, हिंदी और गुजराती बोलने वाले व्यक्तियों की संख्या है। N(T) = 6 N(H) = 15 N(G) = 6

मान लीजिए N(केवल दो भाषाएँ) उन व्यक्तियों की संख्या है जो केवल दो भाषाएँ बोल सकते हैं। N(केवल दो भाषाएँ) = 2

मान लीजिए N(तीनों भाषाएँ) उन व्यक्तियों की संख्या है जो तीनों भाषाएँ बोल सकते हैं। N(तीनों भाषाएँ) = 1

समूह में व्यक्तियों की कुल संख्या (N_कुल) की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: N_कुल = N(T) + N(H) + N(G) - N(केवल दो भाषाएँ) - 2 * N(तीनों भाषाएँ)

यह सूत्र ओवरलैप को सही ढंग से दर्शाता है:

• योग N(T) + N(H) + N(G) एक भाषा बोलने वाले व्यक्तियों को एक बार, दो भाषाएँ बोलने वाले व्यक्तियों को दो बार, और तीन भाषाएँ बोलने वाले व्यक्तियों को तीन बार गिनता है।
• N(केवल दो भाषाएँ) घटाने से ठीक दो भाषाएँ बोलने वाले प्रत्येक व्यक्ति के लिए एक गणना हट जाती है, इसलिए उन्हें अब एक बार गिना जाता है।
• 2 * N(तीनों भाषाएँ) घटाने से तीनों भाषाएँ बोलने वाले प्रत्येक व्यक्ति के लिए दो गणनाएँ हट जाती हैं। चूंकि उन्हें शुरू में तीन बार गिना गया था, इस घटाव के बाद, उन्हें एक बार गिना जाता है।

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: N_कुल = 6 + 15 + 6 - 2 - (2 * 1) N_कुल = 27 - 2 - 2 N_कुल = 23

इस प्रकार, समूह में 23 व्यक्ति हैं।

विकल्पों का विश्लेषण: A) 21: गलत। यह तब परिणाम होगा जब एक गलत घटाव किया गया हो (जैसे, 27 - 6)। B) 22: गलत। यह तब परिणाम होगा जब एक गलत घटाव किया गया हो (जैसे, 27 - 5)। C) 23: सही। यह हमारी गणना से मेल खाता है। D) 24: गलत। यह तब परिणाम होगा जब एक गलत घटाव किया गया हो (जैसे, 27 - 3)।

अंतिम उत्तर C है।