एक वृत्त की परिधि पर 24 समान दूरी वाले बिंदु स्थित हैं। तीन बिंदुओं के समुच्चय को शीर्ष मानकर अधिकतम कितने समबाहु त्रिभुज बनाए जा सकते हैं?

वृत्त पर समान दूरी वाले बिंदुओं से एक समबाहु त्रिभुज बनाने के लिए, बिंदुओं की कुल संख्या (N) 3 का गुणज होनी चाहिए। यदि N, 3 का गुणज है, तो एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष परिधि के साथ N/3 बिंदुओं से अलग होने चाहिए।

इस स्थिति में, N = 24 है। चूंकि 24, 3 का गुणज है, इसलिए समबाहु त्रिभुज बनाए जा सकते हैं। शीर्षों के बीच अलगाव 24 / 3 = 8 बिंदु होगा।

बिंदुओं को 0 से 23 तक लेबल करें। एक समबाहु त्रिभुज एक बिंदु (मान लीजिए, बिंदु 'i') चुनकर बनाया जा सकता है, और फिर अन्य दो शीर्ष (i + 8) और (i + 16) पर होंगे, सभी मॉड्यूलो 24।

विशिष्ट त्रिभुज 0 से (N/3 - 1) तक के प्रारंभिक बिंदुओं को चुनकर बनते हैं। इसलिए, विशिष्ट प्रारंभिक बिंदु 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 हैं।

1. (0, 8, 16)
2. (1, 9, 17)
3. (2, 10, 18)
4. (3, 11, 19)
5. (4, 12, 20)
6. (5, 13, 21)
7. (6, 14, 22)
8. (7, 15, 23)

यदि हम बिंदु 8 से शुरू करते हैं, तो हमें (8, 16, 24 mod 24) = (8, 16, 0) मिलता है, जो पहले त्रिभुज (0, 8, 16) के समान है। इसलिए, 8 विशिष्ट समबाहु त्रिभुज हैं।

विकल्पों का विश्लेषण: A) 4: गलत। B) 6: गलत। C) 8: सही, जैसा कि गणना की गई है। D) 12: गलत।

अंतिम उत्तर C है।