एक घन (cube) के प्रत्येक फलक (face) को काले या सफेद रंगों से रंगा जा सकता है। घन को कितने विभिन्न तरीकों से रंगा जा सकता है?

एक घन में 6 फलक होते हैं, और प्रत्येक फलक को दो रंगों (काला या सफेद) में से किसी एक से रंगा जा सकता है। हमें घन को रंगने के विभिन्न तरीकों की संख्या ज्ञात करनी है, यह मानते हुए कि घन के घुमाव (rotations) से समान रंगाई मानी जाती है।

हम काले फलकों की संख्या पर विचार करके विभिन्न पैटर्न की गणना कर सकते हैं:

1. 0 काले फलक (सभी सफेद): केवल 1 तरीका है (सभी फलक सफेद हैं)।
2. 1 काला फलक: एक एकल काले फलक के सभी स्थान घुमाव द्वारा समतुल्य (equivalent) हैं। अतः, 1 तरीका।
3. 2 काले फलक:
   • दो काले फलक आसन्न (adjacent) हो सकते हैं (एक किनारे को साझा करते हुए)। ऐसे सभी जोड़े घुमाव द्वारा समतुल्य हैं। (1 तरीका)
   • दो काले फलक विपरीत (opposite) हो सकते हैं (कोई किनारा साझा नहीं करते हुए)। ऐसे सभी जोड़े घुमाव द्वारा समतुल्य हैं। (1 तरीका) कुल = 2 विभिन्न तरीके।
4. 3 काले फलक:
   • तीन काले फलक एक कोने पर मिल सकते हैं (जैसे एक शीर्ष (vertex) से दिखाई देने वाले तीन फलक)। इनमें से कोई भी दो फलक विपरीत नहीं हैं। (1 तरीका)
   • दो काले फलक विपरीत हो सकते हैं, और तीसरा फलक उन दोनों के आसन्न हो सकता है। (1 तरीका) कुल = 2 विभिन्न तरीके।

अब, हम समरूपता (symmetry) का उपयोग कर सकते हैं। 'k' फलकों को काला रंगना '6-k' फलकों को सफेद रंगने के समतुल्य है। अतः:

5. 4 काले फलक: यह 2 सफेद फलक होने के सममित (symmetric) है। अतः, 2 तरीके हैं (2 काले फलकों के समान)।
6. 5 काले फलक: यह 1 सफेद फलक होने के सममित है। अतः, 1 तरीका है (1 काले फलक के समान)।
7. 6 काले फलक (सभी काले): यह 0 सफेद फलक होने के सममित है। अतः, 1 तरीका है (सभी फलक काले हैं)।

सभी विभिन्न तरीकों को जोड़ने पर: 1 (0 काले के लिए) + 1 (1 काले के लिए) + 2 (2 काले के लिए) + 2 (3 काले के लिए) + 2 (4 काले के लिए) + 1 (5 काले के लिए) + 1 (6 काले के लिए) = 10 तरीके।

अंतिम उत्तर 10 है।

अंतिम उत्तर B है