कितने त्रिक (x,y,z) समीकरण x + y + z = 6 को संतुष्ट करते हैं, जहाँ x, y और z प्राकृत संख्याएँ हैं?

प्रश्न में प्राकृत संख्याओं के त्रिक (x,y,z) की संख्या पूछी गई है जो समीकरण x + y + z = 6 को संतुष्ट करते हैं। प्राकृत संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक (1, 2, 3, ...) होती हैं। यह एक क्लासिक कॉम्बिनेटरियल समस्या है जिसे "स्टार्स एंड बार्स" विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है। 1. **चरों का रूपांतरण**: चूँकि x, y, और z प्राकृत संख्याएँ होनी चाहिए (अर्थात् x >= 1, y >= 1, z >= 1), हम नए चर पेश कर सकते हैं जो गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हों। मान लीजिए x' = x - 1, y' = y - 1, z' = z - 1। तब x' >= 0, y' >= 0, z' >= 0। 2. **समीकरण में प्रतिस्थापन**: (x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) = 6 x' + y' + z' + 3 = 6 x' + y' + z' = 3 3. **स्टार्स एंड बार्स का अनुप्रयोग**: अब हमें x' + y' + z' = 3 के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करनी है। x1 + x2 + ... + xk = n के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या का सूत्र C(n + k - 1, k - 1) या C(n + k - 1, n) है। हमारे मामले में, n = 3 (योग) और k = 3 (चरों की संख्या)। हलों की संख्या = C(3 + 3 - 1, 3 - 1) = C(5, 2) C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10। वैकल्पिक रूप से, हम व्यवस्थित रूप से हलों को सूचीबद्ध कर सकते हैं: चूँकि x, y, z >= 1 और x + y + z = 6: * यदि x = 1: y + z = 5। संभावित (y,z) हैं (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)। (4 हल) * यदि x = 2: y + z = 4। संभावित (y,z) हैं (1,3), (2,2), (3,1)। (3 हल) * यदि x = 3: y + z = 3। संभावित (y,z) हैं (1,2), (2,1)। (2 हल) * यदि x = 4: y + z = 2। संभावित (y,z) है (1,1)। (1 हल) * यदि x >= 5: y + z = 6 - x। यदि x = 5, y + z = 1, जिसका y,z >= 1 के लिए कोई हल नहीं है। हलों की कुल संख्या = 4 + 3 + 2 + 1 = 10। अंतिम उत्तर 10 है। अंतिम उत्तर D है।